Избори и математика, или Разделяй и владей
Проблемът с избора винаги е бил пред нас. Първобитният човек също беше изправен пред дилема: в каква светлина да живее? От друга страна, изборът на племенни водачи беше по-прост: управляваше този, който уби конкурента. Днес е по-трудно. Също така е добре.
Латинското изречение, използвано в заглавието на статията, означава "разделяй и владей". Винаги е бил използван. Предизвикайте кавга в един народ и ще ви бъде по-лесно да я спечелите. Испанските конкистадори от 1990-ти и XNUMX-ти век умело настройват едни индиански племена срещу други. В края на XNUMX-ти век руският посланик Репнин постигна много: той успя да създаде вълнения в последните години на независима Полша. Така направиха и британците в бившата им империя и войната в Югославия през XNUMX г. започна със сърби срещу хървати и обратно.
Знаем примери за умишлено подстрекаване на конфликти в рамките на една държава. За щастие не е така в днешна Полша. Управляващата партия е пример за мекота, сдържаност и здрав разум, изпълнена с уважение към опозицията, зачитане на закона, Конституцията и волята на прост човек. На международния форум печелим, често с нула (запомняща се победа 27:0). В спорта се справяме добре: помним драматичния хокейен мач с Камерун. Няма скандали, политиците са кристално ясни. Къде имат собствени джобове в главите си! Партията е начело. Ние ще помогнем!
Спри, спри. Ние не сме журналистическо списание. Нека да видим как можете да огънете процеса на вземане на решения във величието на математиката и ... логиката. Пълното описание би било голяма работа, по-скоро журналистическа, отколкото научна.
Възможни са следните опции.
Първо, манипулиране на разделянето на страната на области.
Второ, изборът на метода за превръщане на гласовете в парламентарни места или (например в случай на президентски избори) в избирателни места.
Трето: интерпретиране кога гласът е важен и кога не.
Тук не споменавам явни злоупотреби, като манипулиране на невежеството на избирателите (за Полската народна република празното гласуване означаваше гласуване за кандидати, изброени в горната част на списъка), измама при преброяването на гласовете и изпращане на данните по-горе.
ще започна . Какъв е този странен термин? Обяснявам по малко заобиколен начин.
Вашите читатели вероятно знаят резултата в тениса. Получаваме точки, игри и сетове. За да спечелите играта, трябва да спечелите поне четири топки (точки), но поне две повече от опонента си. Изключение прави тайбрек играта - играе се до седем печеливши точки (топки), също с правило за две топки предимство. Спечелените топки са номерирани странно: 15, 30, 40, след което използваме само термините „предимство – баланс“.
1. Ляв класически gerymandering. Глобалният баланс се превръща в победа за сините. Точно така: във всеки квартал на северния район сините имат само 25% подкрепа, в останалите пак - но не им пречи.
Скъпоценните камъни се събират в комплекти. За да спечелите сет, трябва да имате поне шест игри и поне две повече от опонента си. При резултат 6:6 обикновено се играе тайбрек. Мачовете се играят с два или три спечелени сета. „До две победи“ означава, че този, който спечели два сета, печели. Така резултатът може да бъде 2:0 или 2:1 (и симетрично 0:2, 1:2). Тези правила означават, че не е нужно да печелите повече топки (точки), за да спечелите играта. Просто казано, трябва да спечелите по-важните. Екстремен пример е, когато играч А печели първия сет с 6-0, а другите двама губят с 4-6. Губи мач, въпреки че спечели 14 игри, а опонентът му 12.
Ще се позова на това, което написах преди малко. В тениса има повече и по-малко важни моменти. Добрият тенисист се фокусира върху най-важното.
Съдбата на милиони в лапите на саламандъра
Да преминем към политическите избори. По-общо казано, за избори, които се решават от хиляди или милиони.
Първо трябва да имате държава за избирателни райони. Защото? Няма значение как? О, не! Първият, който измисли как да направи това, за да увеличи шансовете на собствената си партия, беше Елбридж Джери, американски политик от преди двеста години. Един от кръговете, които той предложи, беше във формата на... саламандър и комбинацията от името му с това опашато земноводно доведе до термина. Той работи доста добре с едномандатни избирателни райони, така че не е пряко приложим за Полша. При многочленен офис ситуацията е съвсем различна. Може да се изгорите от време на време. И нещо интересно.
2. Майстор на измамите. Отляво: 40% от глобалната подкрепа се превърна в победа с 4-2. Вдясно: Geometry върши страхотна работа за превръщането на 32% подкрепа в глобална победа 4:3.
И така, нека си представим страна, гъсто населена и с много правилни граници: идеален квадрат с малки полеви градове вътре в него. Градът и изборите за кмет е най-добрата аналогия, но математически няма значение. Управляващата партия в синьо има подкрепа в секторите, отбелязани в синьо фиг. 1. Зелените водят в зелените квадратчета. Тъй като говорим за едномандатни райони, няма значение какво е предимството. Ние сме национално свързани, колкото сини квадратчета, толкова и зелени. Но сините управляват и разделят страната на региони. Има осем избирателни района (1). Какви са резултатите от гласуването? Неочаквано! Сините играчи печелят в A, C, E, F, G, тоест в пет от осем кръга. В случай на едномандатни избирателни райони те имат предимство 5:3 в цялата страна (евентуално градове, ако са избори за кмет).
избирателна география това има важно предимство за партия, където скандалите са нещо обичайно. Да си представим, че в избирателен район Б избухна скандал - кметът присвои бюджетни пари и каза, че всичко е наред. Много избиратели му обърнаха гръб. Ако по-рано гласовете се разпределяха почти поравно (51:49 в полза на една или друга партия), сега в район Б във всеки малък район зелените получиха 75%, а сините само 25. В национален мащаб обаче това не стана боли изобщо (Таблица 1). Ако използвам тенис аналогията, те загубиха само празна точка.
| избирателен район | Тъмно синьо | Зелони | Който печели |
| A | 251 | 249 | Тъмно синьо |
| B | 100 | 300 | Зелони |
| C | 251 | 249 | Тъмно синьо |
| D | 198 | 202 | Зелони |
| E | 251 | 249 | Тъмно синьо |
| F | 251 | 249 | Тъмно синьо |
| G | 251 | 249 | Тъмно синьо |
| H | 149 | 151 | Зелони |
| Общо гласове | 1702 | 1898 | 5 до 3 за син |
Таблица 1. Брой гласове 1898: 1702 в полза на зелените, но 5: 3 места в парламента за сините! На президентските избори в САЩ се случва победителят да получи по-малко гласове.
Единната система има своите предимства и недостатъци. Той идва от английската парламентарна традиция. Предложени са различни математически формули за леко намаляване на принципа „победителят взема всичко“. Най-често срещаното правило беше "най-голямата дробна част". Да приемем, че четири партии A, B, C и D се състезават в Grodzisko Nadmorsky регион. Има седем места за спечелване. На изборите тези партии получиха съответно 9934 5765, 4031 1999, 21 729 и XNUMX XNUMX гласа; общо XNUMX XNUMX. Ние очакваме:
7∙9934/21729= 3,20
7∙5765/21729= 1,86
74031/21729= 1,30
7∙1999/21729= 0,64
Ясно; ако Жечпосполита беше, както казва принц Радзивил в Потопа, червен плат, страните щяха да го разкъсат в съотношение 320:186:130:64. Но има само седем места за споделяне. Партиди A заслужават три места (тъй като коефициентът е по-голям от 3), партиди B, C заслужават по едно място. Как мога да избера другите две? Предлага се следното решение: да се даде на онези партии, на които „най-малко им липсва пълен глас“, т.е. тези с най-голяма дробна част. Следователно те попадат в части B, D. Нека представим резултата в ясна графика на фиг. 3.
фиг.3 Методът на "най-голямата дробна част". Коалиция B + C + D побеждава партия А
Какво ще т.нар. правилото на д'Онд? Обсъждам това малко по-нататък. Препоръчвам го като упражнение. Резултат върху фиг. 4.
фиг.4 Резултати от метода на d'Hondt. Партия А управлява сама.
За следващото лесно упражнение препоръчвам на читателите да направят нещо подобно: представете си, че партиите B, C и D се съгласяват и отиват на изборите в един блок – наречете го E. След това, както подсказва правилото на д'Ондт, те отнемат една партия А има мандат, т.е. резултатът от A:E е 3:4. Изводът е известен от много години като поговорка: Съгласието създава, несъгласието руши.
За щастие, примерите, които давам тук, са измислени и всяка прилика с известни държави е чисто случайна.
Д'Онд
Как действа споменатият метод на d'Hondt? Един пример е най-подходящ за това. Да предположим, че определен избирателен район е гласувал в епископски избори, както е показано. Таблица 2.
| Име на партията | Гласове, Н. | N/2 | N/3 | N/4 | N/5 |
| Партия на пълен просперитет | 10 000 | 5000 | 3333 | 2500 | 2000 |
| партия на изобилието | 6600 | 3300 | 2200 | 1650 | 1320 |
| Локомотивът на прогреса | 4800 | 2400 | 1600 | 1200 | 960 |
| Измамници и измамници | 3600 | 1800 | 1200 | 900 | 720 |
Таблица 2. Резултати от гласуването в избирателен район Klapucko Male на изборите в Klapadocsy.
Оказа се, че партията на мошениците и гохщаплери е успяла толкова добре само в Клапуцки Мали. В световен мащаб те не отбелязаха 5%, така че резултатите им не се вземат предвид. Поставяме останалите на свой ред, като не забравяме от коя партия са:
10 000 (PTD), 6600 (SO), 5000 (PTD), 4800 (LP), 3333 (PTD), 3300 (SO), 2500 (PTD), 2400 (LP), 2200 (SO) и т.н. Ние възлагаме билети в посочения ред. Резултатът до голяма степен зависи от броя на наличните билети.
| 3 места | PTD 2, SO 1, LP 0 |
| 4 места | PTD 2, SO 1, LP 1 |
| 5 места | PTD 3, SO 1, LP 1 |
| 6 места | PTD 3, SO 2, LP 1 |
| 7 места | PTD 4, SO 2, LP 1 |
| 8 места | PTD 4, SO 2, LP 2 |
| 9 места | PTD 4, SO 3, LP 2 |
Таблица 3. Разпределение на местата в зависимост от броя им.
Твърди се, че такава система изглажда резултатите - намалява евентуалното доминиране на една партия. Въпросът обаче е по-сложен. Всичко зависи от конкретните данни. Нямам място за по-дълги дискусии, ще отбележа само два интересни факта:
1. Ако измамниците и измамниците бяха достигнали националния изборен праг, резултатите можеше да са различни. Те няма да се променят, ако се спечелят три или четири места, но ако петима души от избирателния район влязат в парламента, резултатът ще бъде: PTD 2, SO 1, PL 1, JG 1. Партията PTD ще загуби абсолютното си право . мнозинство. Работи по обратния начин: ако малка фракция излезе от партията, всички губят, включително и тези, които не са съгласни.
2. Ако SO и LP се разбраха и отидоха да гласуват заедно, тогава те биха били не по-лоши при всеки сценарий, но обикновено по-добри.
Нека също да видим как методът на d'Hondt третира ситуацията с фиг. 2когато в отделението има две-три празни места. Да припомня, че при едномандатните окръзи това даде силна победа на сините. При двойките има тотално поражение, но при тройки той отново печели.
| избирателен район | Тъмно синьо | Зелони | Метод д'Онд |
| A | 251 | 249 | Предавателни числа: 251/249; график 1-1 |
| B | 100 | 300 | 300/100 0-2 |
| C | 251 | 249 | 251/249 1-1 |
| D | 198 | 202 | 202/198 1-1 |
| E | 251 | 249 | 251/249 1-1 |
| F | 251 | 249 | 251/249 1-1 |
| G | 251 | 249 | 251/249 1-1 |
| H | 149 | 151 | 151/149 1-1 |
| Общо гласове | 1702 | 1898 | Синьо 7 - Зелено 9 |
Таблица 4. Ситуация с фиг. 2, но с двумандатни избирателни райони. Провалът на сините 7:9.
| избирателен район | Тъмно синьо | Зелони | Метод д'Онд |
| A | 251 | 249 | Предавателни числа: 251/249/125,5; графика 2-1 |
| B | 100 | 300 | 300/150/100; 0,5-2,5 |
| C | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| D | 198 | 202 | 202/198/101; 1-2 |
| E | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| F | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| G | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| H | 149 | 151 | 151/149/75,5; 1-2 |
| Общо гласове | 1702 | 1898 | Синьо 12,5 - Зелено 11,5 |
Таблица 5. Ситуация с фиг. 2, но с тримандатни избирателни райони.
Сред някои характеристики включвам „геометрията“ при квалифицирането на гласовете като важни или неважни. В много страни знакът за одобрение е „отметка“, тоест v, а понякога и Y. Имаме x, което се свързва повече със зачертаване (и следователно с отхвърляне). Законодателят искаше да изясни това и даде квазиматематическа дефиниция - „две пресичащи се прави“, като тълкува, че двете линии на буквата v не се пресичат.
Първо, в математиката "пресичане" означава "да имаш обща точка" - това трябва да се свързва особено с по-младите хора (под петдесет години), защото сега училището е такова. Но ако някой не вярва в математиката, може да се сети, че обратният завой на пътя също е кръстовище.
По-добре е да оставите неточна дефиниция: всеки знак, който недвусмислено показва избора на кандидат на длъжност, която някога е била почетна, но сега има само унижителна асоциация.
