Статия за нищо

Като дете бях очарован от историята, вероятно известна на много читатели, за "супа на пирон". Баба ми (XNUMX век от раждането) ми каза това във версията „Казакът дойде и поиска вода, защото има пирон и ще сготви супа върху него.“ Любопитната домакиня му подаде тенджера с вода… и знаем какво се случи след това: „супата да е солена, дейци, баба, сол“, после изми месото „за да се подобри вкуса“ и т.н. Накрая изхвърли "сварения" пирон.

Така че тази статия трябваше да бъде за празнотата на космоса - а това е за кацането на европейски апарат на кометата 67P / Чурюмов-Герасименко на 12 ноември 2014 г. Но докато пиша, се поддадох на дългогодишен навик, Все още съм математик. Как е с катос Нула математика?

Как съществува нищо?

Не може да се каже, че Нищо не съществува. Съществува поне като философско, математическо, религиозно и напълно разговорно понятие. Нулата е обикновено число, нула градуса на термометър също е температура, а нулевият баланс в банката е неприятно, но често срещано явление. Обърнете внимание, че в хронологията няма нулева година и това е така, защото нулата е въведена в математиката едва в късното Средновековие, по-късно от хронологията, предложена от монаха Дионисий (XNUMX век).

Колкото и да е странно, наистина бихме могли без тази нула и следователно без отрицателни числа. В един от учебниците по логика намерих упражнение: нарисувайте или кажете как си представяте отсъствието на риба. Удивително, нали? Всеки може да нарисува риба, но не и една?

Сега накратко основен курс по математика. Предоставянето на привилегия за съществуване на празния набор, отбелязан със зачеркнат кръг ∅, е необходима процедура, аналогична на добавянето на нула към набора от числа. Празният набор е единственият набор, който не съдържа никакви елементи. Такива колекции:

Но няма два различни празни комплекта. Празният комплект е включен във всеки друг комплект:

Всъщност правилата на математическата логика казват, че множеството A се съдържа в множество B, ако и само ако изречението:

това включва

В случая на празното множество ∅ предложението винаги е невярно и по този начин, според законите на логиката, импликацията обикновено е вярна. Всичко произтича от лъжа („тук ще отглеждам кактус, ако преминете в следващия клас ...“). Така че, тъй като празното множество се съдържа във всеки от останалите, тогава ако бяха две различни, всяко от тях щеше да се съдържа в другото. Въпреки това, ако две групи се съдържат едно в друго, те са равни. Ето защо: има само един празен комплект!

Постулатът за съществуването на празно множество не противоречи на никакви закони на математиката, така че защо да не го оживеем? Философският принцип, нареченБръсначът на Окам» Заповед за изключване на ненужни понятия, но точно концепцията за празно множество е много полезна в математиката. Обърнете внимание, че празното множество има размерност -1 (минус едно) - елементите с нулево измерение са точки и техните редки системи, едномерните елементи са линии и говорихме за много сложни математически елементи с фрактална размерност в главата за фракталите .

Интересно е, че цялата сграда на математиката: числа, числа, функции, оператори, интеграли, диференциали, уравнения ... могат да бъдат извлечени от едно понятие - празно множество! Достатъчно е да приемем, че има празен набор, новосъздадените елементи могат да се комбинират в набори, за да могат изградете цялата математика. Ето как немският логик Готлоб Фреге конструира естествените числа. Нулата е клас от множества, чиито елементи са във взаимно съответствие с елементите на празното множество. Единият е клас от множества, чиито елементи са във взаимно съответствие с елементите на множество, чийто единствен елемент е празното множество. Two е клас от множества, чиито елементи са едно към едно с елементите на множеството, състоящо се от празното множество и множеството, чийто единствен елемент е празното множество... и т.н. На пръв поглед това изглежда нещо много сложно, но всъщност не е така.

Синьото се разстила по мен

миришеше на хедър и миришеше на мента...

Войчех Млинарски, момиче на жетвата

Трудно е да си представим

Нищо не е трудно да си представим. В разказа на Станислав Лем „Как беше спасен светът“ дизайнерът Трърл построи машина, която ще направи всичко, започвайки с буква. Когато Клапауций заповяда да бъде построен Nic, машината започна да премахва различни обекти от света - с крайната цел да премахне всичко. Докато изплашеният Клапауциус спря колата, галерите, тисовете, висящите, хаковете, римите, тупалките, пуфовете, мелниците, шишовете, филидроните и сланите бяха изчезнали от света завинаги. И наистина, те изчезнаха завинаги ...

Йозеф Тишнер пише много добре за нищото в своята История на планинската философия. По време на последната ми ваканция реших да изпитам това нищожество, а именно отидох до торфените блата между Nowy Targ и Jabłonka в Podhale. Тази област дори се нарича Пустахия. Вървиш, вървиш, но пътят не намалява - разбира се, в нашия скромен, полски мащаб. Един ден взех автобус в канадската провинция Саскачеван. Отвън имаше царевична нива. Подремнах половин час. Когато се събудих, карахме през една и съща царевична нива... Но чакайте, това празно ли е? В известен смисъл липсата на промяна е просто празнота.

Свикнали сме с постоянното присъствие на различни предмети около нас и от нещо не можеш да избягаш дори със затворени очи. „Мисля, следователно съм“, каза Декарт. Ако вече съм мислил нещо, значи съществувам, което означава, че има поне нещо на света (а именно аз). Съществува ли това, което си мислех? Това може да се обсъди, но в съвременната квантова механика е известен принципът на Хайзенберг: всяко наблюдение нарушава състоянието на наблюдавания обект. Докато не го видим Nic той не съществува и когато започнем да търсим, обектът престава да бъде като и става нещо. Става абсурдно антропен принцип: Няма смисъл да се питаме какъв би бил светът, ако не съществувахме ние. Светът е такъв, какъвто ни изглежда. Може би други същества ще видят Земята като ъгловата?

Позитронът (такъв положителен електрон) е дупка в пространството, „няма електрон“. В процеса на анихилация електронът скача в тази дупка и „нищо не се случва” – няма дупка, няма електрон. Ще пропусна много шеги за дупките в швейцарското сирене („колкото повече имам, толкова по-малко има ...“). Известният композитор Джон Кейдж вече е използвал идеите му до такава степен, че е композирал (?) музикално произведение (?), в което оркестърът седи неподвижен в продължение на 4 минути 33 секунди и, разбира се, не свири нищо. „Четири минути и тридесет и три секунди са двеста седемдесет и три, 273, а минус 273 градуса е абсолютната нула, при която всяко движение спира“, обясни композиторът (?).

Филтрирайте до нула, нищо, Ник, Ник, нищо, нула!

Йежи във филма на Анджей Вайда През годините,

дните минават"

Какво ще кажете за всички?

Много хора (от прости фермери до видни философи) се чудеха за феномена на съществуването. В математиката ситуацията е проста: има нещо, което е последователно.

Тя изчезна в маргиналните полета

В метличина, плевели и лъвски усти...

Е, случват се такива неща

Особено по време на прибиране на реколтата и по време на жътва

особено…

Войчех Млинарски, момиче на жетвата

Всичко е в другата крайност на Нищото. В математиката знаем това Всичко не съществува. Просто твърде неточна представа, че съществуването му би било без противоречия. Това може да се разбере с примера на стария парадокс: "Ако Бог е всемогъщ, тогава създайте камък, който да вземете?" Математическото доказателство, че не може да има множества от всички множества, се основава на теоремата певец-Берщейн, което казва, че "безкрайно число" (математически: бройно числително) множеството от всички членове на дадено множество е по-голямо от броя на елементите на това множество.

Ако едно множество има елементи, то има 2ⁿ подмножества; например, когато = 3 и наборът се състои от {1, 2, 3}, тогава съществуват следните подмножества:

• три двуелементни набора: на всеки от тях липсва едно от числата 1, 2, 3,
• един празен комплект,
• три едноелементни комплекта,
• целият набор {1,2,3}

– само осем, 2³И читатели, които наскоро са завършили училище, бих искал да припомня съответната формула:

Всеки от символите на Нютон в тази формула определя броя на наборите от k-елементи в набора -елементи.

В математиката биномните коефициенти се появяват на много други места, като например в интересни формули за намалено умножение:

а от точната им форма тяхната взаимозависимост е много по-интересна.

Трудно е да се разбере какво - що се отнася до логиката и математиката - е и какво не е Всичко. Аргументи за несъществуване Същите като тези на Мечо Пух, който учтиво попитал своя гост Тигър обичат ли тигрите мед, жълъди и бодили? „Тигрите харесват всичко“, отговори този, от който Кубус заключи, че ако харесват всичко, тогава обичат и да спят на пода, следователно той, Вини, може да се върне в леглото.

Друг аргумент Парадоксът на Ръсел. В града има бръснар, който бръсне всички мъже, които не се бръснат сами. Сам ли се бръсне? И двата отговора противоречат на поставеното условие, че убиват онези, и то само онези, които не го правят сами.

Търся колекция от всички колекции

В заключение ще дам едно умно, но най-математическо доказателство, че няма множество от всички множества (да не се бърка с него).

Първо, ще покажем, че за всяко непразно множество X е невъзможно да се намери взаимно уникална функция, която преобразува това множество в множеството от неговите подмножества P(X). Така че нека приемем, че тази функция съществува. Нека го обозначим с традиционното f. Какво е f от x? Това е колекция. xf принадлежи ли на x? Това е неизвестно. Или трябва, или не. Но за някое x то все пак трябва да е такова, че да не принадлежи на f от x. Е, тогава разгледайте множеството от всички x, за които x не принадлежи на f(x). Означете го (това множество) с A. Той съответства на някакъв елемент a от множеството X. Принадлежи ли a на A? Да предположим, че трябва. Но A е множество, съдържащо само онези елементи от x, които не принадлежат на f(x) ... Е, може би не принадлежи на A? Но множеството A съдържа всички елементи на това свойство, а оттам и A. Край на доказателството.

Следователно, ако имаше множество от всички множества, то самото би било подмножество от себе си, което е невъзможно според предишните разсъждения.

Уф, не мисля, че много читатели са виждали това доказателство. По-скоро го повдигнах, за да покажа какво трябваше да направят математиците в края на деветнадесети век, когато започнаха да изучават основите на собствената си наука. Оказа се, че проблемите са там, където никой не ги е очаквал. Освен това за цялата математика тези разсъждения за основите нямат значение: каквото и да става в мазетата - цялата сграда на математиката стои на здрава скала.

Междувременно на върха...

Отбелязваме още един морал от разказите на Станислав Лем. В едно от пътуванията си Ийон Тичи достига планета, чиито жители след дълга еволюция най-накрая достигат най-високата степен на развитие. Всички те са силни, могат всичко, имат всичко на една ръка разстояние... и не правят нищо. Легнаха на пясъка и го изливат между пръстите си. „Ако всичко е възможно, не си струва“, обясняват те на шокирания Ijon. Дано това не се случи с нашата европейска цивилизация...