пет пъти в окото
В края на 2020 г. се проведоха няколко събития в университети и училища, отложени от ... март. Едно от тях беше "празнуването" на деня на пи. По този повод на 8 декември изнесох дистанционна лекция в университета в Силезия и тази статия е обобщение на лекцията. Цялото парти започна в 9.42, а лекцията ми е насрочена за 10.28. Откъде идва такава точност? Просто е: 3 пъти pi е около 9,42, а π на 2-ра степен е около 9,88, а часът 9 на 88-ма степен е 10 на 28-ма ...
Обичаят да се почита това число, изразяващ съотношението на обиколката на окръжност към неговия диаметър и понякога се нарича константа на Архимед (както и в немскоговорящите култури), идва от САЩ (Вижте също: ). 3.14 март “Американски” в 22:22, оттук и идеята. Полският еквивалент може да бъде 7 юли, защото дробта 14/XNUMX се приближава добре до π, което… Архимед вече знаеше. Е, март XNUMX е най-доброто време за странични събития.
Тези три и четиринадесет стотни са едно от малкото математически послания, които са останали с нас от училище за цял живот. Всеки знае какво означава това"пет пъти в окото". Толкова е вкоренено в езика, че е трудно да се изрази по различен начин и със същата грация. Когато попитах в автосервиза колко може да струва ремонтът, механикът се замисли и каза: „пет пъти около осемстотин злоти“. Реших да се възползвам от ситуацията. "Искаш грубо приближение?". Механикът сигурно е помислил, че не съм чул, затова повтори: „Не знам точно колко, но пет пъти на око ще бъде 800“.
.
За какво става дума? Правописът преди Втората световна война използваше "не" заедно и аз го оставих там. Тук нямаме работа с прекалено помпозна поезия, макар че ми харесва идеята, че „златният кораб изпомпва щастието“. Попитайте учениците: Какво означава тази мисъл? Но стойността на този текст е другаде. Броят на буквите в следващите думи са цифрите на разширението pi. Да видим:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 \ t
През 1596 г. холандски учен от немски произход Лудолф ван Сюлен изчислява стойността на пи до 35 знака след десетичната запетая. Тогава тези фигури бяха гравирани на гроба му. Тя посвети стихотворение на числото пи и на нашия Нобелов лауреат, Вислава Шимборска. Шимборска беше очарована от непериодичността на това число и от факта, че с вероятност 1 всяка последователност от цифри, като нашия телефонен номер, ще се появи там. Докато първото свойство е присъщо на всяко ирационално число (което трябва да помним от училище), второто е интересен математически факт, който е трудно да се докаже. Можете дори да намерите приложения, които предлагат: дайте ми телефонния си номер и аз ще ви кажа къде се намира в пи.
Където има закръгленост, има и сън. Ако имаме кръгло езеро, тогава ходенето около него е 1,57 пъти по-дълго от плуването. Разбира се, това не означава, че ще плуваме един път и половина до два пъти по-бавно, отколкото ще преминем. Споделих световния рекорд на 100 метра със световния рекорд на 100 метра. Интересното е, че при мъжете и жените резултатът е почти еднакъв и е 4,9. Плуваме 5 пъти по-бавно, отколкото бягаме. Гребането е съвсем различно – но интересно предизвикателство. Има доста дълъг сюжет.
Бягайки от преследващия го Злодей, красивият и благороден Добрият отплава към езерото. Злодеят тича по брега и чака тя да го накара да кацне. Разбира се, той бяга по-бързо от Dobry, а ако бяга гладко, Dobry е по-бърз. Така че единственият шанс за Злото е да вземе Доброто от брега - точен изстрел от револвер не е опция, т.к. Доброто има ценна информация, която Злото иска да знае.
Good се придържа към следната стратегия. Той плува през езерото, като постепенно се приближава до брега, но винаги се опитва да бъде от противоположната страна от Злия, който произволно тича наляво, после надясно. Това е показано на фигурата. Нека началната позиция на Evil е Z1, а Добре е средата на езерото. Когато Zly се премести в Z1, Добро ще отплава до Д.1когато лошото е в Z2браво на Д2. То ще тече зигзагообразно, но в съответствие с правилото: колкото е възможно по-далеч от Z. Въпреки това, като се отдалечава от центъра на езерото, Доброто трябва да се движи във все по-големи и по-големи кръгове и в един момент не може придържайте се към принципа „да бъдете от другата страна на злото“. Тогава той с всичка сила загребва към брега, надявайки се, че Злият няма да заобиколи езерото. Добре ли ще успее?
Отговорът зависи от това колко бързо добрият може да греба спрямо стойността на краката на Лоша. Да предположим, че Лошият човек тича със скорост s пъти по-голяма от скоростта на Добрия човек по езерото. Следователно най-големият кръг, по който Доброто може да гребе, за да се противопостави на Злото, има радиус, еднократно по-малък от радиуса на езерото. И така, в чертежа, който имаме. В точка W нашият вид започва да гребе към брега. Това трябва да мине
със скорост
Има нужда от време.
Wicked преследва всичките си най-добри крака. Той трябва да завърши половината от кръга, което ще му отнеме секунди или минути, в зависимост от избраните единици. Ако това е повече от щастлив край:
Добрият ще си отиде. Простите сметки показват какво трябва да бъде. Ако Лошият човек бяга по-бързо от 4,14 пъти добрия човек, това не свършва добре. И тук се намесва нашето число пи.
Това, което е кръгло, е красиво. Нека да разгледаме снимката на три декоративни чинии - имам ги след родителите ми. Каква е площта на криволинейния триъгълник между тях? Това е проста задача; отговорът е на същата снимка. Не се учудваме, че се появява във формулата - все пак, където има закръгленост, има пи.
Използвах вероятно непозната дума:. Това е името на числото pi в немскоезичната култура и всичко това благодарение на холандците (всъщност германец, който живее в Холандия - националността нямаше значение по това време), Лудолф от Сеулен... През 1596 г. той изчисли 35 цифри от своето разширение до десетичен знак. Този рекорд се съхранява до 1853 г., когато Уилям Ръдърфорд наброява 440 места. Рекордьорът за ръчни изчисления е (вероятно завинаги) Уилям Шанкскойто след много години работа публикува (през 1873 г.) разширение до 702 цифри. Едва през 1946 г. се установи, че последните 180 цифри са неправилни, но това си остава. 527 правилно. Беше интересно да намеря самия бъг. Скоро след публикуването на резултата на Шанкс те заподозряха, че "нещо не е наред" - имаше подозрително малко седем в разработка. Все още недоказана (декември 2020 г.) хипотеза гласи, че всички числа трябва да се появяват с една и съща честота. Това накара Д. Т. Фъргюсън да преразгледа изчисленията на Шанкс и да намери грешката на „учещия“!
По-късно калкулаторите и компютрите помогнаха на хората. Настоящият (декември 2020 г.) рекордьор е Тимъти Мъликан (50 трилиона знака след десетичната запетая). Изчисленията отнеха... 303 дни. Да поиграем: колко място би заемало това число, отпечатано в стандартна книга. Доскоро отпечатаната "страна" на текста беше 1800 знака (30 реда по 60 реда). Нека намалим броя на знаците и полетата на страниците, да натъпчем по 5000 знака на страница и да отпечатаме книги от 50 страници. Така че XNUMX трилиона знаци ще отнеме десет милиона книги. Не е лошо, нали?
Въпросът е какъв е смисълът на такава борба? От чисто икономическа гледна точка защо данъкоплатецът трябва да плаща за такова „забавление” на математиците? Отговорът не е труден. първо, от Сеулен изобретени заготовки за изчисления, тогава полезно за логаритмични изчисления. Ако му беше казано: моля, изградете заготовки, той щеше да отговори: защо? По същия начин команда:. Както знаете, това откритие не е съвсем случайно, но въпреки това е страничен продукт на изследвания от различен тип.
Второ, нека да прочетем какво пише Тимъти Мъликан. Ето репродукция на началото на неговото творчество. Професор Мъликан се занимава с киберсигурност, а пи е толкова малко хоби, че току-що тества новата си система за киберсигурност.
А това 3,14159 в инженерството е повече от достатъчно, това е друг въпрос. Нека направим просто изчисление. Юпитер е на 4,774 Tm от Слънцето (тераметър = 1012 метра). За да се изчисли обиколката на такава окръжност с такъв радиус с абсурдна точност от 1 милиметър, ще бъде достатъчно да вземем π = 3,1415926535897932.
Следващата снимка показва четвърт кръг от лего тухли. Използвах 1774 подложки и беше около 3,08 pi. Не е най-доброто, но какво да очаквате? Кръгът не може да бъде съставен от квадрати.
Точно. Известно е, че числото пи е кръг квадрат - математическа задача, която чака решението си повече от 2000 години - още от гръцки времена. Можете ли да използвате пергел и линейка, за да построите квадрат, чиято площ е равна на площта на дадения кръг?
Терминът "квадрат на кръга" е навлязъл в говоримия език като символ на нещо невъзможно. Натискам клавиша, за да попитам, това някакъв опит ли е да се запълни окопът на враждебността, която разделя гражданите на нашата красива страна? Но вече избягвам тази тема, защото май се чувствам само по математика.
И отново същото - решението на задачата за квадратура на окръжността не се е появило по такъв начин, че авторът на решението, Чарлз Линдеман, през 1882 г. той е създаден и най-накрая успява. До известна степен да, но това беше резултат от атака от широк фронт. Математиците са научили, че има различни видове числа. Не само цели числа, рационални (тоест дроби) и ирационални. Неизмеримостта също може да бъде по-добра или по-лоша. Може да си спомним от училище, че ирационалното число е √2, число, изразяващо съотношението на дължината на диагонала на квадрата към дължината на неговата страна. Като всяко ирационално число, то има неопределено разширение. Нека ви напомня, че периодичното разширение е свойство на рационалните числа, т.е. частни цели числа:
Тук безкрайно се повтаря редицата от числа 142857. За √2 това няма да се случи – това е част от ирационалността. Но ти можеш:
(дробът продължава вечно). Тук виждаме модел, но от различен тип. Пи дори не е толкова често срещано явление. Не може да се получи чрез решаване на алгебрично уравнение – тоест такова, в което няма нито квадратен корен, нито логаритъм, нито тригонометрични функции. Това вече показва, че тя не е конструируема - рисуването на окръжности води до квадратични функции, а линиите - прави - до уравнения от първа степен.
Може би съм се отклонил от основния сюжет. Само развитието на цялата математика даде възможност да се върнем към изворите - към древната красива математика на мислителите, създали за нас европейската култура на мисълта, която днес е толкова съмнителна от някои.
От многото представителни модели избрах два. Първият от тях свързваме с фамилното име Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716).
Но той е бил известен (модел, не Лайбниц) на средновековния индуски учен Мадхава от Сангамаграма (1350-1425). Преносът на информация по това време не беше голям - интернет връзките често бяха бъгови и нямаше батерии за мобилни телефони (тъй като електрониката все още не беше измислена!). Формулата е красива, но безполезна за изчисления. От сто съставки се получава "само" 3,15159.
той е малко по-добър wzor Viète'a (този от квадратни уравнения) и неговата формула е лесна за програмиране, защото следващият член в произведението е корен квадратен от предишния плюс две.
Знаем, че кръгът е кръгъл. Можем да кажем, че това е 100-процентов кръг. Математикът ще попита: може ли нещо да не е 1 процент кръгло? Очевидно това е оксиморон, фраза, съдържаща скрито противоречие, като например горещ лед. Но нека се опитаме да измерим колко кръгли могат да бъдат формите. Оказва се, че добра мярка се дава от следната формула, в която S е площта, а L е обиколката на фигурата. Нека разберем, че кръгът наистина е кръгъл, че сигмата е 6. Площта на кръга е обиколката. Вмъкваме ... и виждаме какво е правилно. Колко кръгъл е квадратът? Изчисленията са също толкова прости, дори няма да ги давам. Вземете правилен шестоъгълник, вписан в кръг с радиус. Периметърът очевидно е XNUMX.
полски
Какво ще кажете за обикновен шестоъгълник? Обиколката му е 6 и неговата площ
Значи имаме
което е приблизително равно на 0,952. Шестоъгълникът е повече от 95% "кръг".
Интересен резултат се получава при изчисляване на закръглеността на спортен стадион. Според правилата на IAAF, правите и завоите трябва да са с дължина 40 метра, въпреки че са разрешени отклонения. Спомням си, че стадион Бислет в Осло беше тесен и дълъг. Пиша „беше“, защото дори бягах на него (за любител!), но преди повече от XNUMX години. Нека да разгледаме:
Ако дъгата има радиус от 100 метра, радиусът на тази дъга е метри. Площта на моравата е квадратни метра, а площта извън нея (където има трамплини) възлиза на квадратни метра. Нека включим това във формулата:
Така че закръглеността на спортния стадион има ли нещо общо с равностранен триъгълник? Тъй като височината на равностранен триъгълник е същият брой пъти страната. Това е случайно съвпадение на числата, но е хубаво. Харесва ми. А читателите?
Добре, че е кръгъл, въпреки че някои може да възразят, защото вирусът, който засяга всички ни, е кръгъл. Поне така го рисуват.
