обратен чар

Много се говори за "очарованието на противоположностите", и то не само в математиката. Не забравяйте, че противоположните числа са тези, които се различават само по знак: плюс 7 и минус 7. Сборът от противоположни числа е нула. Но за нас (т.е. математиците) реципрочните са по-интересни. Ако произведението на числата е равно на 1, тогава тези числа са обратни едно на друго. Всяко число има своята противоположност, всяко ненулево число има своето обратно. Реципрочното на реципрочното е семето.

Инверсия възниква навсякъде, когато две величини са свързани помежду си, така че ако едната се увеличава, другата намалява със съответна скорост. „Релевантно“ означава, че произведението на тези количества не се променя. Помним от училище: това е обратна пропорция. Ако искам да стигна до дестинацията си два пъти по-бързо (т.е. да съкратя времето наполовина), трябва да удвоя скоростта си. Ако обемът на запечатан съд с газ се намали с n пъти, тогава налягането му ще се увеличи с n пъти.

В началното образование ние внимателно правим разлика между диференциални и относителни сравнения. "Колко още"? – „Колко пъти повече?“

Ето някои училищни дейности:

Задача 1. От двете положителни стойности първата е 5 пъти по-голяма от втората и в същото време 5 пъти по-голяма от първата. Какви са размерите?

Задача 2. Ако едно число е с 3 по-голямо от второто, а второто е с 2 по-голямо от третото, колко по-голямо е първото число от третото? Ако първото положително число е два пъти второто, а първото число е три пъти третото, колко пъти първото число е по-голямо от третото?

Задача 3. В задача 2 се допускат само естествени числа. Възможно ли е такова подреждане, както е описано там?

Задача 4. От двете положителни стойности първата е 5 пъти втората, а втората е 5 пъти първата. Възможно ли е?

Концепцията за "средно" или "средно" изглежда много проста. Ако карах 55 км в понеделник, 45 км във вторник и 80 км в сряда, средно карах 60 км на ден. С тези изчисления сме напълно съгласни, макар че са малко странни, защото не съм карал 60 км за един ден. Също толкова лесно приемаме дяловете на човек: ако двеста души посетят ресторант в рамките на шест дни, тогава средната дневна норма е 33 и една трета души. ХМ!

Има проблеми само със средния размер. Обичам да карам колело. Затова се възползвах от предложението на туристическа агенция "Хайде с нас" - те доставят багаж до хотела, където клиентът кара велосипед за развлекателни цели. В петък карах четири часа: първите два със скорост 24 км/ч. След това така се изморих, че следващите две със скорост само 16 на час. Каква беше средната ми скорост? Разбира се (24+16)/2=20км=20км/ч.

В събота обаче багажът беше оставен в хотела и отидох да разгледам руините на замъка, който е на 24 км и като ги видях, се върнах. Карах час в едната посока, връщах се по-бавно, със скорост 16 км в час. Каква беше средната ми скорост по маршрута хотел-замък-хотел? 20 км в час? Разбира се, че не. Все пак изминах общо 48 км и ми отне час („там“) и час и половина назад. 48 км за два часа и половина, т.е. час 48/2,5=192/10=19,2 км! В тази ситуация средната скорост не е средноаритметичната, а хармоника на дадените стойности:

и тази двуетажна формула може да се чете по следния начин: средната хармонична стойност на положителните числа е реципрочна на средната аритметична на тяхната реципрочна. Реципрочната стойност на сбора на реципрочните числа се появява в много хорове от училищни задачи: ако единият работник копае часове, другият - b часа, тогава, работейки заедно, те копаят навреме. воден басейн (един на час, другият на b часа). Ако единият резистор има R1, а другият има R2, тогава те имат паралелно съпротивление. 

Ако един компютър може да реши проблем за секунди, друг компютър за b секунди, тогава когато работят заедно...

Спри се! Тук аналогията свършва, защото всичко зависи от скоростта на мрежата: ефективността на връзките. Работниците също могат да си пречат или да си помагат. Ако един човек може да изкопае кладенец за осем часа, могат ли осемдесет работници да го направят за 1/10 от час (или 6 минути)? Ако шестима носачи закарат пианото до първия етаж за 6 минути, колко време ще отнеме на един от тях да достави пианото до шейсетия етаж? Абсурдността на подобни задачи ни кара да си спомним ограничената приложимост на цялата математика към задачи „от живота“.

Относно мощен продавач 

Кантарът вече не се използва. Спомнете си, че върху една купа на такива везни беше поставена тежест, а стоките, които се претегляха, бяха поставени върху другата и когато теглото беше в равновесие, тогава стоките тежаха толкова, колкото теглото. Разбира се, двете рамена на тежестта трябва да са с еднаква дължина, в противен случай претеглянето ще бъде неправилно.

А, вярно. Представете си продавач, който има тегло с неравномерен ливъридж. Той обаче иска да бъде честен с клиентите и претегля стоката на две партиди. Първо слага тежест на единия тиган, а на другия съответно количество стока - така че везните да са в равновесие. След това той претегля втората "половина" от стоките в обратен ред, тоест поставя тежестта върху втората купа, а стоките - върху първата. Тъй като ръцете са неравни, "половините" никога не са равни. И съвестта на продавача е чиста, а купувачите хвалят неговата честност: „Това, което премахнах тук, след това добавих“.

Нека обаче разгледаме по-отблизо поведението на продавача, който иска да бъде честен въпреки несигурната тежест. Нека рамената на везната имат дължини a и b. Ако една от купите е натоварена с тегло от килограм, а другата с x стоки, тогава везните са в равновесие, ако ax = b първия път и bx = a втория път. И така, първата част от стоките е равна на b / килограм, втората част е a / b. Доброто тегло има a = b, така че купувачът ще получи 2 kg стоки. Нека да видим какво се случва, когато a ≠ b. Тогава a – b ≠ 0 и от формулата за намалено умножение имаме

Стигнахме до неочакван резултат: привидно справедливият метод за "осредняване" на измерването в този случай работи в полза на купувача, който получава повече стоки.

Упражнение 5. (Важно, в никакъв случай в математиката!). Един комар тежи 2,5 милиграма, а слонът - пет тона (това са съвсем точни данни). Изчислете средноаритметичната, средната геометрична и средната хармонична на масите (тегла) на комарите и слоновете. Проверете изчисленията и вижте дали имат някакъв смисъл освен аритметичните упражнения. Нека разгледаме други примери за математически изчисления, които нямат смисъл в "реалния живот". Съвет: Вече разгледахме един пример в тази статия. Означава ли това, че един анонимен ученик, чието мнение намерих в интернет, беше прав: „Математиката заблуждава хората с числа“?

Да, съгласен съм, че в величието на математиката можете да „заблудите“ хората - всяка втора реклама на шампоан казва, че той увеличава пухкавостта с някакъв процент. Да потърсим ли други примери за полезни ежедневни инструменти, които могат да се използват за престъпна дейност?

грамове!

Заглавието на този пасаж е глагол (първо лице множествено число), а не съществително (именно множествено число от една хилядна от килограма). Хармонията предполага ред и музика. За древните гърци музиката е била клон на науката – трябва да се признае, че ако го кажем, пренасяме сегашното значение на думата „наука“ във времето преди нашата ера. Питагор е живял през XNUMX век пр. н. е. Той не само не е познавал компютър, мобилен телефон и имейл, но също така не е знаел кои са Роберт Левандовски, Мешко I, Карл Велики и Цицерон. Той не знаеше нито арабски, нито дори римски цифри (те влязоха в употреба около XNUMX-ти век пр.н.е.), той не знаеше какво представляват Пуническите войни ... Но той знаеше музика ...

Той знаеше, че при струнните инструменти коефициентите на вибрация са обратно пропорционални на дължината на вибриращите части на струните. Знаеше, знаеше, просто не можеше да го изрази по начина, по който го правим днес.

Честотите на двете вибрации на струните, съставляващи една октава, са в съотношение 1:2, тоест честотата на по-високата нота е два пъти по-голяма от честотата на по-ниската. Правилното съотношение на вибрации за квинта е 2:3, четвърта е 3:4, чиста голяма терца е 4:5, малка терца е 5:6. Това са приятни съгласни интервали. Следват два неутрални, със съотношения на вибрации 6:7 и 7:8, след това дисонантни - голям тон (8:9), малък тон (9:10). Тези дроби (съотношения) са като съотношенията на последователни членове на последователност, която математиците (точно поради тази причина) наричат ​​хармонична серия:

е теоретично безкрайна сума. Съотношението на трептенията на октавата може да се напише като 2:4 и да се постави пета между тях: 2:3:4, тоест ще разделим октавата на пета и четвърта. Това се нарича разделяне на хармонични сегменти в математиката:

Ориз. 1. За музикант: разделяне на октава AB на пета AC.За математик: Хармонична сегментация

Какво имам предвид, когато говоря (по-горе) за теоретично безкрайна сума, като хармоничния ред? Оказва се, че такава сума може да бъде произволно голямо число, основното е, че събираме за дълго време. Съставките са все по-малко, но са все повече и повече. Какво преобладава? Тук навлизаме в сферата на математическия анализ. Оказва се, че съставките се изчерпват, но не много бързо. Ще покажа, че като взема достатъчно съставки, мога да обобщя:

произволно голям. Да вземем "примерно" n = 1024. Да групираме думите, както е показано на фигурата:

Във всяка скоба всяка дума е по-голяма от предишната, с изключение, разбира се, на последната, която е равна на самата себе си. В следващите скоби имаме 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и 512 компонента; стойността на сумата във всяка скоба е по-голяма от ½. Всичко това е повече от 5½. По-точните изчисления биха показали, че тази сума е приблизително 7,50918. Не много, но винаги и можете да видите, че като взема n произволно голямо, мога да надмина всяко число. Този невероятно бавен (например, ние топваме десет само със съставки), но безкрайният растеж винаги е очаровал математиците.

Пътуване до безкрайност с хармоничната серия

Ето един пъзел за доста сериозна математика. Имаме неограничен брой правоъгълни блокове (какво да кажа, правоъгълни!) с размери, да речем, 4 × 2 × 1. Помислете за система, състояща се от няколко (на фиг. 2 - четири) блока, подредени така, че първият да е наклонен с ½ от дължината си, вторият отгоре с ¼ и така нататък, третият с една шеста. Е, може би, за да стане наистина стабилно, нека наклоним първата тухла малко по-малко. Няма значение за изчисленията.

Ориз. 2. Определяне на центъра на тежестта

Също така е лесно да се разбере, че тъй като фигурата, съставена от първите два блока (като се брои отгоре), има център на симетрия в точка B, тогава B е центърът на тежестта. Да дефинираме геометрично центъра на тежестта на системата, съставена от трите горни блока. Тук е достатъчен един много прост аргумент. Нека мислено разделим композицията от три блока на две горни и трета долна. Този център трябва да лежи върху участъка, свързващ центровете на тежестта на двете части. В кой момент от този епизод?

Има два начина за обозначаване. В първия ще използваме наблюдението, че този център трябва да лежи в средата на пирамидата от три блока, т.е. на права линия, пресичаща втория, среден блок. По втория начин разбираме, че тъй като двата горни блока имат обща маса два пъти по-голяма от тази на единичен блок #3 (отгоре), центърът на тежестта на тази секция трябва да бъде два пъти по-близо до B, отколкото до центъра S от третия блок. По същия начин намираме следващата точка: свързваме намерения център на трите блока с центъра S на четвъртия блок. Центърът на цялата система е на височина 2 и в точката, която разделя сегмента от 1 до 3 (тоест на ¾ от дължината му).

Изчисленията, които ще извършим малко по-нататък, водят до резултата, показан на фиг. фиг. 3. Последователните центрове на тежестта се отстраняват от десния край на долния блок чрез:

По този начин проекцията на центъра на тежестта на пирамидата винаги е в основата. Кулата няма да се преобърне. Сега нека разгледаме фиг. 3 и за момент, нека използваме петия блок отгоре като основа (този, отбелязан с по-яркия цвят). Горен наклон:

по този начин левият му ръб е с 1 по-далеч от десния ръб на основата. Ето следващата люлка:

Коя е най-голямата люлка? Вече знаем! Няма най-велик! Като вземете дори най-малките блокове, можете да получите надвес от един километър - за съжаление, само математически: цялата Земя няма да е достатъчна, за да построите толкова много блокове!

Ориз. 3. Добавете още блокове

Сега изчисленията, които оставихме по-горе. Ще изчислим всички разстояния "хоризонтално" по оста x, защото това е всичко. Точка А (центърът на тежестта на първия блок) е на 1/2 от десния ръб. Точка B (центърът на системата от два блока) е на 1/4 от десния край на втория блок. Нека началната точка е краят на втория блок (сега ще преминем към третия). Например, къде е центърът на тежестта на единичен блок #3? Следователно половината от дължината на този блок е 1/2 + 1/4 = 3/4 от нашата референтна точка. Къде е точка С? В две трети от сегмента между 3/4 и 1/4, тоест в точката преди, променяме референтната точка към десния ръб на третия блок. Центърът на тежестта на триблоковата система вече е премахнат от новата референтна точка и т.н. Център на тежестта C_n кула, съставена от n блока, е на 1/2n разстояние от моментната референтна точка, която е десният ръб на основния блок, т.е. n-тият блок от върха.

Тъй като поредицата от реципрочни числа се разминава, можем да получим всяка голяма вариация. Може ли това наистина да бъде приложено? Това е като безкрайна тухлена кула – рано или късно ще се срути под собствената си тежест. В нашата схема минималните неточности в поставянето на блокове (и бавното нарастване на частичните суми от серията) означават, че няма да стигнем много далеч.