Лем, Токарчук, Краков, математика

На 3-7 септември 2019 г. в Краков се проведе юбилейният конгрес на Полското математическо общество. Юбилей, защото се навършват сто години от основаването на Обществото. Тя съществува в Галиция от първите години (без прилагателното, че полският либерализъм на император FJ1 има своите граници), но като общонационална организация тя действа едва от 1919 г. Големият напредък в полската математика датира от 1919 1939-XNUMX. XNUMX в университета „Ян Казимир“ в Лвов, но конгресът не може да се проведе там – и това също не е най-добрата идея.

Срещата беше много празнична, наситена със съпътстващи събития (включително представление на Яцек Войчицки в замъка в Ниеполомице). Основните лекции бяха изнесени от 28 лектори. Те бяха на полски, защото поканените гости бяха поляци - не непременно в смисъл на гражданство, но признаващи себе си за поляци. О, да, само тринадесет лектори дойдоха от полски научни институции, останалите петнадесет бяха от САЩ (7), Франция (4), Англия (2), Германия (1) и Канада (1). Е, това е добре познато явление във футболните лиги.

Най-добрите постоянно се представят в чужбина. Малко е тъжно, но свободата е свобода. Няколко полски математици са направили задгранични кариери, които са недостижими в Полша. Тук парите играят второстепенна роля, но не искам да пиша на такива теми. Може би само два коментара.

В Русия, а преди това в Съветския съюз, това беше и е на най-съзнателно ниво... и някак си никой не иска да емигрира там. От своя страна в Германия около дузина кандидати кандидатстват за професор във всеки университет (колеги от университета в Констанц казаха, че са имали 120 кандидатури за една година, 50 от които са много добри, а 20 са отлични).

Няколко от лекциите на Юбилейния конгрес могат да бъдат обобщени в нашия месечен вестник. Заглавия като „Граници на разредените графики и техните приложения“ или „Линейна структура и геометрия на подпространства и факторни пространства за високомерни нормализирани пространства“ няма да кажат нищо на обикновения читател. Втората тема беше въведена от моя приятел от първите курсове, Никол Томчак.

Преди няколко години тя беше номинирана за постижението, представено в тази лекция. Медал на Фийлдс е еквивалентът за математиците. Досега само една жена е получавала тази награда. Заслужава да се отбележи и лекцията Анна Марчиняк-Чохра (Хайделбергски университет) "Ролята на механистичните математически модели в медицината на примера на моделиране на левкемия".

влезе в медицината. Във Варшавския университет група, ръководена от проф. Йежи Тюрин.

Заглавието на лекцията ще бъде неразбираемо за читателите Веслава Низиол (z prestiżowej Висше педагогическо училище)“-адична теория на Ходж". Въпреки това реших да обсъдя тук тази лекция.

Геометрия - адични светове

Започва се с прости малки неща. Помниш ли, Читателю, метода на писмен обмен? Определено. Спомнете си безгрижните години на началното училище. Разделете 125051 на 23 (това е действието отляво). Знаете ли, че може да бъде различно (действие отдясно)?

Този нов метод е интересен. Тръгвам от края. Трябва да разделим 125051 на 23. По какво трябва да умножим 23, така че последната цифра да е 1? Търсим в паметта и имаме :=7. Последната цифра от резултата е 7. Умножете, извадете, получаваме 489. Как умножавате 23, за да получите 9? Разбира се, с 3. Стигаме до момента, в който определяме всички числа на резултата. Намираме го за непрактично и по-трудно от обичайния ни метод – но е въпрос на практика!

Нещата получават различен обрат, когато смелият човек не е напълно разделен от делителя. Нека направим разделението и да видим какво ще стане.

Вляво е типична училищна писта. Вдясно „нашите странни“.

Можем да проверим и двата резултата чрез умножение. Разбираме първото: една трета от числото 4675 е хиляда петстотин петдесет и осем и три в периода. Второто няма смисъл: какво е това число, предшествано от безкраен брой шестици и след това 8225?

Нека оставим за момент въпроса за смисъла. Хайде да играем. Така че нека разделим 1 на 3 и след това 1 на 7, което е една трета и една седма. Лесно можем да получим:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Този последен ред означава: блок 285714 се повтаря неограничено в началото и накрая има три от тях. За тези, които не вярват, ето един тест:

Сега нека добавим дроби:

След това събираме получените странни числа и получаваме (проверяваме) същото странно число.

......95238095238095238095238010

Можем да проверим дали това е равно на

Същината тепърва ще се вижда, но аритметиката е вярна.

Още един пример.

Обичайното, макар и голямо число 40081787109376 има интересно свойство: квадратът му също завършва на 40081787109376. числото x40081787109376, което е (x40081787109376)² също завършва на x40081787109376.

Бакшиш. Имаме 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, така че следващата цифра е допълнение три към десет, което е 7. Нека проверим: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Въпросът защо е така е труден. По-лесно е: намерете подобни окончания за числа, завършващи на 5. Продължавайки процеса на намиране на следващите цифри за неопределено време, ще стигнем до такива „числа“, които ²=²= (и нито едно от тези числа не е равно на нула или едно).

разбираме добре. Колкото по-далеч след десетичната запетая, толкова по-малко важно е числото. В инженерните изчисления първата цифра след десетичната запетая е важна, както и втората, но в много случаи може да се приеме, че съотношението на обиколката на окръжността към диаметъра му е 3,14. Разбира се, в авиационната индустрия трябва да се включат повече номера, но не мисля, че ще бъдат повече от десет.

Името се появи в заглавието на статията Станислав Лем (1921-2006), както и новият ни Нобелов лауреат. лейди Олга Токарчук Споменах това само защото крещяща несправедливостФакт е, че Станислав Лем не получи Нобелова награда за литература. Но не е в нашия ъгъл.

Лем често предвиждаше бъдещето. Той се чудеше какво ще стане, когато станат независими от хората. Колко филма на тази тема се появиха напоследък! Лем доста точно предвиди и описа оптичния четец и фармакологията на бъдещето.

Той знаеше математиката, въпреки че понякога я третираше като украшение, без да се интересува от правилността на изчисленията. Например в разказа „Изпитание“ пилотът на Pirks излиза в орбита B68 с период на въртене 4 часа и 29 минути, а инструкцията е 4 часа и 26 минути. Той си спомня, че са изчислили с грешка от 0,3 процента. Той дава данните на калкулатора, а калкулаторът отговаря, че всичко е наред... Е, не. Три десети от процента от 266 минути са по-малко от минута. Но тази грешка променя ли нещо? Може би е било нарочно?

Защо пиша за това? Много математици също повдигат този въпрос: представете си общност. Те нямат нашия човешки ум. За нас 1609,12134 и 1609,23245 са много близки числа - добри приближения до английската миля. Компютрите обаче може да смятат числата 468146123456123456 и 9999999123456123456 за близки. Те имат еднакви дванадесетцифрени окончания.

Колкото по-често срещани цифри са в края, толкова по-близо са числата. А това води до така нареченото разстояние -адичен. Нека p е равно на 10 за момент; защо само „за известно време“, ще обясня ... сега. Разстоянието от 10 точки на написаните по-горе числа е 

или една милионна - защото тези числа имат шест общи цифри в края. Всички цели числа се различават от нула с единица или по-малко. Дори няма да пиша шаблон, защото няма значение. Колкото повече еднакви числа в края, толкова по-близки са числата (за човек, напротив, се считат първоначалните числа). Важно е p да е просто число.

След това - харесват нули и единици, така че виждат всичко в тези модели: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

В романа Glos Pana Станислав Лем наема учени, за да се опитат да прочетат съобщение, изпратено от отвъдното, разбира се с код нула-едно. Някой пише ли ни? Лем твърди, че „всяко съобщение може да бъде прочетено, ако е съобщение, че някой е искал да ни каже нещо“. Но дали е така? Ще оставя читателите пред тази дилема.

Живеем в XNUMXD пространство R³. писмо R припомня, че осите се състоят от реални числа, тоест цели числа, отрицателни и положителни, нула, рационални (т.е. дроби) и ирационални, които читателите срещнаха в училище (), и числа, известни като трансцендентални числа, недостъпни в алгебрата (това е числото π , който свързва диаметъра на кръг с неговата обиколка повече от две хиляди години).

Ами ако осите на нашето пространство бяха -адични числа?

Йежи Миодушовски, математик от университета в Силезия, твърди, че това може да е така и дори че може да бъде така. Можем (казва Йежи Миодушевски) да заемем едно и също място в пространството с такива същества, без да се намесваме и без да се виждаме.

И така, имаме за изследване цялата геометрия на „техния“ свят. Малко вероятно е „те“ да мислят по същия начин за нас и да изучават нашата геометрия, защото нашият е граничен случай на всички „техни“ светове. "Тих", тоест всички адски светове, където са прости числа. По-специално, = 2 и този завладяващ свят на нула-едно ...

Тук читателят на статията може да се ядоса и дори да се ядоса. „Това ли са глупостите, които правят математиците? Фантазират да пият водка след вечеря, с моите (=данъкоплатци) пари. И ги разпръснете на четири вятъра, пуснете ги в държавните ферми... о, няма вече държавни ферми!

Отпуснете се. винаги са имали склонност към подобни шеги. Нека само да спомена теоремата за сандвича: ако имам сандвич със сирене и шунка, мога да го нарежа на един разрез, за ​​да разполовя кифличката, шунката и сиренето. Това е безполезно на практика. Въпросът е, че това е просто игриво приложение на интересна обща теорема от функционалния анализ.

Колко сериозно е да се занимаваме с -адични числа и свързана геометрия? Нека напомня на читателя, че рационалните числа (опростено: дроби) лежат плътно на линията, но не я запълват плътно.

Ирационалните числа живеят в "дупки". Има много, безкрайно много от тях, но може да се каже и че тяхната безкрайност е по-голяма от тази на най-простите, в които броим: едно, две, три, четири... и така до ∞. Това е нашето човешко запълване на "дупки". Ние сме наследили тази ментална структура от питагорейци. 

Но това, което е интересно и важно за математик, е, че човек не може да „запълни” тези дупки с ирационални и p-адични числа (за всички прости числа p). За онези читатели, които разбират това (а това се преподаваше във всяка гимназия преди тридесет години), въпросът е, че всяка последователност, която удовлетворява Състоянието на Коши, се сближава.

Пространство, в което това е вярно, се нарича пълно („нищо не липсва“). Ще запомня числото 547721051611007740081787109376.

Последователността 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 и така нататък се сближава до определена граница, която е приблизително 0,5477210516110077400 81787109376.

Въпреки това, от гледна точка на 10-адичното разстояние, последователността от числа 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 и така нататък също се сближава до "странното" число ... 547721051 611007740081787109376.

Но дори това може да не е достатъчна причина да се дадат публични пари на учените. Като цяло ние (математиците) се защитаваме с това, че е невъзможно да се предвиди за какво ще бъде полезно нашето изследване. Почти сигурно е, че всеки ще бъде от полза и че само действията на широк фронт имат шанс за успех.

Едно от най-големите изобретения, рентгеновата машина, е създадено след случайно откриване на радиоактивност Бекерела. Ако не беше този случай, много години изследвания вероятно биха били безполезни. „Търсим начин да направим рентгенова снимка на човешкото тяло.

И накрая, най-важното. Всички са съгласни, че способността за решаване на уравнения играе роля. И тук нашите странни номера са добре защитени. Съответната теорема (Мразя Минковски) казва, че някои уравнения могат да бъдат решени в рационални числа, ако и само ако имат реални корени и корени във всяко -адично тяло.

Горе-долу този подход е представен Андрю Уайлс, който реши най-известното математическо уравнение от последните триста години - препоръчвам на читателите да го въведат в търсачката "Последната теорема на Ферма".