Геометрични пътеки и гъсталаци
Докато пишех тази статия, си спомних една много стара песен на Ян Питрзак, която той изпя преди сатиричната си дейност в кабарето Pod Egidą, признато в Полската народна република като предпазен клапан; човек може честно да се смее на парадоксите на системата. В тази песен авторът препоръчва социалистическо политическо участие, осмивайки тези, които искат да бъдат аполитични и изключвайки радиото във вестника. „По-добре е да се върнем към училищното четене“, пее иронично тогавашният XNUMX-годишен Петшак.
Връщам се към училищното четене. Препрочитам (не за първи път) книгата на Шчепан Еленски (1881-1949) „Лилавати”. За малко читатели самата дума казва нещо. Това е името на дъщерята на известния индуистки математик, известен като Бхаскара (1114-1185), на име Акария, или на мъдреца, който е озаглавил книгата си по алгебра с това име. По-късно Лилавати самата станала известен математик и философ. Според други източници тя самата е написала книгата.
Szczepan Yelensky дава същото заглавие на своята книга по математика (първо издание, 1926 г.). Може дори да е трудно тази книга да се нарече математическа работа - тя беше по-скоро набор от пъзели и до голяма степен пренаписана от френски източници (авторските права в съвременния смисъл не съществуваха). Във всеки случай дълги години това беше единствената популярна полска книга по математика - по-късно към нея беше добавена втората книга на Йеленски, "Сладките на Питагор". Така че младите хора, които се интересуват от математика (какъвто бях и аз някога), нямаха от какво да избират ...
от друга страна, „Лилавати” трябваше да се знае почти наизуст... Ех, имаше времена... Най-голямото им предимство беше, че тогава бях... тийнейджър. Днес, от гледна точка на добре образован математик, гледам на Лилавати по съвсем различен начин - може би като катерач по завоите на пътеката към Шпигласова пшеленч. Нито едното, нито другото губи своя чар ... В характерния си стил Шчепан Йеленски, който изповядва така наречените национални идеи в личния си живот, той пише в предговора:
Без да засягам описанието на националните характеристики, ще кажа, че дори след деветдесет години думите на Еленски за математиката не са загубили своята актуалност. Математиката те учи да мислиш. Това е факт. Можем ли да ви научим да мислите различно, по-просто и по-красиво? Може би. Просто... все още не можем. Обяснявам на моите ученици, които не искат да правят математика, че това също е тест за тяхната интелигентност. Ако не можете да научите наистина проста математическа теория, тогава... може би умствените ви способности са по-лоши, отколкото и двамата бихме искали...?
Знаци в пясъка
А ето и първия разказ в „Лилавати” – разказ, описан от френския философ Жозеф дьо Местр (1753-1821).
Моряк от разбит кораб е хвърлен от вълни на празен бряг, който той смята за необитаем. Изведнъж в крайбрежния пясък той видя следа от геометрична фигура, нарисувана пред някого. Тогава той разбра, че островът не е пуст!
Цитирайки де Местри, Еленски пише: геометрична фигуратова би било ням израз за нещастния, корабокрушенец, съвпадение, но той му показа с един поглед пропорция и число и това предвещаваше просветен човек. Толкова за историята.
Имайте предвид, че морякът ще предизвика същата реакция, например, като нарисува буквата K, ... и всякакви други следи от присъствието на човек. Тук геометрията е идеализирана.
Въпреки това, астрономът Камил Фламарион (1847-1925) предлага цивилизациите да се поздравяват от разстояние, използвайки геометрия. Той виждаше в това единствения правилен и възможен опит за комуникация. Да покажем на такива марсианци питагорейските триъгълници... те ще ни отговорят с Талес, ние ще им отговорим с модели Vieta, техният кръг ще се побере в триъгълник, така че започна приятелство...
Писатели като Жул Верн и Станислав Лем се върнаха към тази идея. И през 1972 г. плочки с геометрични (и не само) шарки бяха поставени на борда на сондата Pioneer, която все още пресича просторите на космоса, сега на почти 140 астрономически единици от нас (1 I е средното разстояние на Земята от Земята) . Слънце, тоест около 149 милиона км). Плочката е проектирана отчасти от астронома Франк Дрейк, създател на противоречивото правило за броя на извънземните цивилизации.
Геометрията е невероятна. Всички знаем общата гледна точка за произхода на тази наука. Ние (ние, хората) току-що започнахме да измерваме земята (а по-късно и земята) за най-утилитарни цели. Определянето на разстояния, чертането на прави линии, отбелязването на прави ъгли и изчисляването на обемите постепенно се превръщат в необходимост. Оттук и цялата работа геометрия („Измерване на земята“), следователно цялата математика ...
За известно време обаче тази ясна картина на историята на науката ни замъгли. Защото, ако математиката беше необходима само за оперативни цели, ние нямаше да се занимаваме с доказване на прости теореми. „Виждате, че това изобщо трябва да е вярно“, би казал някой, след като провери, че в няколко правоъгълни триъгълника сумата от квадратите на хипотенузите е равна на квадрата на хипотенузата. Защо такъв формализъм?
Пайът със сливи трябва да е вкусен, компютърната програма трябва да работи, машината трябва да работи. Ако преброих капацитета на цевта тридесет пъти и всичко е наред, тогава защо иначе?
Междувременно на древните гърци им хрумнало, че трябва да се намерят някакви официални доказателства.
И така, математиката започва с Талес (625-547 г. пр. н. е.). Предполага се, че именно Милет започва да се чуди защо. За умните хора не е достатъчно, че са видели нещо, че са убедени в нещо. Те видяха необходимостта от доказателство, логическа последователност от аргументи от предположение до теза.
Те също искаха още. Вероятно Талес е този, който пръв се е опитал да обясни физическите явления по натуралистичен начин, без божествена намеса. Европейската философия започва с философията на природата – с това, което вече стои зад физиката (оттук и името: метафизика). Но основите на европейската онтология и натурфилософия са положени от питагорейците (Питагор, ок. 580-ок. 500 г. пр. н. е.).
Той основава собствено училище в Кротоне в южната част на Апенинския полуостров – днес бихме го нарекли секта. Науката (в настоящия смисъл на думата), мистицизъм, религия и фантазия са тясно преплетени. Томас Ман много красиво представи уроците по математика в немска гимназия в романа Доктор Фауст. Преведено от Мария Курецкая и Витолд Вирпша, този фрагмент гласи:
В интересната книга на Чарлз ван Дорен „История на знанието от зората на историята до наши дни“ открих една много интересна гледна точка. В една от главите авторът описва значението на питагорейската школа. Самото заглавие на главата ме порази. Той гласи: „Изобретението на математиката: Питагорейците“.
Често обсъждаме дали математическите теории се откриват (напр. неизвестни земи) или се изобретяват (напр. машини, които не са съществували преди). Някои креативни математици виждат себе си като изследователи, други като изобретатели или дизайнери, по-рядко контрабанди.
Но авторът на тази книга пише за изобретяването на математиката като цяло.
От преувеличение до заблуда
След тази дълга уводна част ще премина към самото начало. геометрияда се опише как прекомерното разчитане на геометрията може да подведе учен. Йоханес Кеплер е известен във физиката и астрономията като откривател на трите закона за движение на небесните тела. Първо, всяка планета в Слънчевата система се движи около слънцето по елиптична орбита, в един от фокусите на която е слънцето. Второ, на равни интервали водещият лъч на планетата, изтеглен от Слънцето, рисува равни полета. Трето, съотношението на квадрата на периода на въртене на планетата около Слънцето към куба на голямата полуос на нейната орбита (т.е. средното разстояние от Слънцето) е постоянно за всички планети в Слънчевата система.
Може би това беше третият закон – изискваше се много данни и изчисления, за да се установи, което накара Кеплер да продължи да търси закономерности в движението и положението на планетите. Историята на новото му „откритие” е много поучителна. От древността ние се възхищаваме не само на правилните многогранници, но и на аргументите, показващи, че в пространството има само пет от тях. Триизмерен полиедър се нарича правилен, ако неговите лица са еднакви правилни многоъгълници и всеки връх има еднакъв брой ръбове. Илюстративно, всеки ъгъл на правилния полиедър трябва да "изглежда еднакво". Най-известният полиедър е кубът. Всеки е виждал обикновен глезен.
Правилният тетраедър е по-малко известен и в училище се нарича правилна триъгълна пирамида. Прилича на пирамида. Останалите три правилни многогранника са по-малко известни. Когато свържем центровете на ръбовете на куб, се образува октаедър. Додекаедърът и икосаедърът вече приличат на топки. Изработени от мека кожа, те биха били удобни за копаене. Разсъждението, че няма правилни полиедри освен петте платонови тела, е много добро. Първо, разбираме, че ако тялото е редовно, тогава един и същ брой (нека q) от еднакви правилни многоъгълници трябва да се събират във всеки връх, нека това са p-ъгли. Сега трябва да запомним какъв е ъгълът в правилния многоъгълник. Ако някой не си спомня от училище, напомняме ви как да намерите правилния модел. Направихме пътуване зад ъгъла. Във всеки връх завиваме през същия ъгъл a. Когато заобиколим полигона и се върнем в началната точка, сме направили p такива завои, като общо сме се обърнали на 360 градуса.
Но α е допълнение от 180 градуса към ъгъла, който искаме да изчислим, и следователно е
Намерихме формулата за ъгъла (математик би казал: мерки на ъгъл) на правилен многоъгълник. Нека проверим: в триъгълника p = 3 няма a
Като този. Когато p = 4 (квадрат), тогава
градуса също е добре.
Какво получаваме за петоъгълник? И така, какво се случва, когато има q многоъгълници, като всяко p има еднакви ъгли
градуси, низходящи в един връх? Ако беше на равнина, тогава щеше да се образува ъгъл
градуса и не може да бъде повече от 360 градуса - защото тогава многоъгълниците се застъпват.
Въпреки това, тъй като тези многоъгълници се срещат в пространството, ъгълът трябва да бъде по-малък от пълния ъгъл.
И ето неравенството, от което следва всичко:
Разделете го на 180, умножете двете части по p, подредете (p-2) (q-2) < 4. Какво следва? Нека сме наясно, че p и q трябва да са естествени числа и че p > 2 (защо? И какво е p?), а също и q > 2. Няма много начини да направим произведението на две естествени числа по-малко от 4. Ние ще ги изброя всички в таблица 1.
Не публикувам рисунки, всеки може да види тези фигури в Интернет... В Интернет... Няма да откажа едно лирично отклонение - може би е интересно за младите читатели. През 1970 г. говорих на семинар. Темата беше трудна. Имах малко време за подготовка, седях вечер. Основната статия беше само за четене на място. Мястото беше уютно, с работна атмосфера, добре че затваряше в седем. Тогава самата булка (сега моя съпруга) предложи да пренапише цялата статия за мен: около дузина печатни страници. Преписах го (не, не с перо, имахме дори химикалки), лекцията мина успешно. Днес се опитах да намеря тази публикация, която вече е стара. Помня само името на автора... Търсенето в интернет продължи дълго... цели петнадесет минути. Мисля си за това с усмивка и малко неоправдано съжаление.
Връщаме се към Кеплера и геометрия. Очевидно Платон е предсказал съществуването на петата редовна форма, защото му липсва нещо обединяващо, покриващо целия свят. Може би затова той инструктира ученик (Теайтет) да я търси. Както беше, така беше, въз основа на което беше открит додекаедърът. Ние наричаме това отношение на Платон пантеизъм. Всички учени, чак до Нютон, са му се поддали в по-голяма или по-малка степен. От силно рационалния осемнадесети век неговото влияние драстично намаля, въпреки че не бива да се срамуваме от факта, че всички ние се поддаваме на него по един или друг начин.
В концепцията на Кеплер за изграждане на Слънчевата система всичко беше правилно, експерименталните данни съвпаднаха с теорията, теорията беше логически последователна, много красива... но напълно фалшива. По негово време са били известни само шест планети: Меркурий, Венера, Земя, Марс, Юпитер и Сатурн. Защо има само шест планети? — попита Кеплер. И каква закономерност определя разстоянието им от Слънцето? Предполагаше, че всичко е свързано, че геометрия и космогония са тясно свързани помежду си. От писанията на древните гърци той знае, че има само пет правилни многогранника. Той видя, че между шестте орбити има пет празнини. Така че може би всяко от тези свободни пространства съответства на някакъв правилен полиедър?
След няколко години наблюдения и теоретична работа той създава следната теория, с помощта на която изчислява доста точно размерите на орбитите, които представя в книгата "Mysterium Cosmographicum", публикувана през 1596 г.: Представете си гигантска сфера, чийто диаметър е диаметърът на орбитата на Меркурий при годишното му движение около слънцето. След това си представете, че върху тази сфера има правилен октаедър, върху нея сфера, върху нея икосаедър, върху нея отново сфера, върху нея додекаедър, върху нея друга сфера, върху нея тетраедър, след това отново сфера, куб и накрая, на този куб е описана топката.
Кеплер заключава, че диаметрите на тези последователни сфери са диаметрите на орбитите на други планети: Меркурий, Венера, Земя, Марс, Юпитер и Сатурн. Теорията изглеждаше много точна. За съжаление това съвпадна с експерименталните данни. И какво по-добро доказателство за правилността на една математическа теория от нейното съответствие с експериментални данни или данни от наблюдения, особено „взети от небето“? Обобщавам тези изчисления в таблица 2. И така, какво направи Кеплер? Опитвах и опитвах, докато не се получи, тоест когато конфигурацията (редът на сферите) и получените изчисления съвпаднаха с данните от наблюденията. Ето съвременните цифри и изчисления на Кеплер:
Човек може да се поддаде на очарованието на теорията и да повярва, че измерванията в небето са неточни, а не изчисленията, направени в тишината на работилницата. За съжаление днес знаем, че има поне девет планети и че всички съвпадения на резултатите са просто съвпадение. Жалко. Беше толкова красиво...
