Цветни квадрати и слънчеви затъмнения

Статията описва моите занятия за ученици от прогимназиален етап - стипендианти на Национален детски фонд. Фондацията търси особено надарени деца и младежи (от XNUMX клас на основното училище до гимназия) и предлага „стипендии“ на избрани ученици. Те обаче изобщо не се състоят в теглене на пари в брой, а в цялостна грижа за развитието на таланта, като правило, в продължение на много години. За разлика от много други проекти от този тип, известни учени, културни дейци, видни хуманисти и други мъдри хора, както и някои политици, се отнасят сериозно към подопечните на Фондацията.

Дейността на фондацията обхваща всички дисциплини, които са основни учебни предмети, с изключение на спорта, включително изкуство. Фондът е създаден през 1983 г. като противоотрова на тогавашната действителност. Всеки може да кандидатства във фонда (обикновено чрез училище, за предпочитане преди края на учебната година), но, разбира се, има определено сито, определена процедура за квалификация.

Както вече споменах, статията е базирана на моите майсторски класове, конкретно в Гдиня, през март 2016 г., в 24-та прогимназия в III гимназия. флот. В продължение на много години тези семинари се организират под егидата на Фондацията от Войчех Томалчик, учител с изключителна харизма и високо интелектуално ниво. През 2008 г. той влезе в челната десетка в Полша, на които беше присъдено званието професор по педагогика (предвидено от закона преди много години). Има леко преувеличение в твърдението: „Образованието е оста на света“.

и луната са винаги завладяващи - тогава можете да почувствате, че живеем на малка планета в огромно пространство, където всичко е в движение, измерено в сантиметри и секунди. Дори малко ме плаши, също и времевата перспектива. Научаваме, че следващото пълно затъмнение, видимо от района на днешна Варшава, ще бъде през... 2681 г. Чудя се кой ще го види? Видимите размери на Слънцето и Луната в нашето небе са почти еднакви - затова затъмненията са толкова кратки и толкова зрелищни. Векове наред тези кратки минути трябва да са достатъчни за астрономите да видят слънчевата корона. Странно е, че се случват два пъти годишно... но това означава само, че някъде на Земята могат да бъдат видени за кратък период от време. В резултат на приливни движения Луната се отдалечава от Земята - след 260 милиона години тя ще бъде толкова далеч, че ние (ние???) ще виждаме само пръстеновидни затъмнения.

Явно първият, който прогнозира затъмнение, е Талес от Милет (28-585 в. пр. н. е.). Вероятно няма да разберем дали се е случило в действителност, тоест дали го е предсказал, защото фактът, че затъмнението в Мала Азия е настъпило през май 567 г. 566 г. пр. н. е. е факт, потвърден от съвременните изчисления. Разбира се, цитирам данни за днешното отчитане на времето. Когато бях дете, си представях как хората броят годините. Така че това е, например, XNUMX години пр.н.е., идва Нова година и хората се радват: само XNUMX години пр.н.е.! Колко щастливи трябва да са били, когато най-накрая дойде „нашата ера“! Какъв прелом на хилядолетията изживяхме преди няколко години!

Математиката за изчисляване на дати и диапазони затъмнения, не е особено сложен, но е натъпкан с всякакви фактори, свързани с редовността и, още по-лошо, с неравномерното движение на тялото в орбити. Дори бих искал да знам тази математика. Как може Талес от Милет да направи необходимите изчисления? Отговорът е прост. Трябва да имате карта на небето. Как се прави такава карта? Това също не е трудно, древните египтяни са знаели как да го направят. В полунощ двама свещеници излизат на покрива на храма. Всеки от тях сяда и рисува това, което вижда (като колегата му). След две хиляди години знаем всичко за движението на планетите...

Красива геометрия или забавление на "черга"

Гърците не обичаха числата, прибягваха до геометрията. Това ще направим. Нашите затъмнение те ще бъдат прости, цветни, но също толкова интересни и истински. Приемаме конвенцията, че синята фигура се движи по такъв начин, че да засенчи червената. Нека наречем синята фигура луна, а червената фигура слънце. Ние си задаваме следните въпроси:

1. колко дълго трае едно затъмнение;
2. когато половината от целта е покрита;

   Ориз. 1 Многоцветен "килим" със слънце и луна

3. какво е максималното покритие;
4. възможно ли е да се анализира зависимостта на покритието на щита от времето? В тази статия (ограничен съм от количеството текст) ще се спра на втория въпрос. Зад това се крие хубава геометрия, може би без скучни изчисления. Нека да разгледаме фиг. 1. Може ли да се предположи, че ще бъде свързано със ... слънчево затъмнение?

Честно трябва да кажа, че задачите, които ще обсъждам, ще бъдат специално подбрани, адаптирани към знанията и уменията на учениците от средните и гимназиалните. Но ние тренираме на такива задачи, като музикантите свирят на гами, а спортистите правят общи упражнения за развитие. Освен това, не е ли просто красив килим (фиг. 1)?

Ориз. 2 "Синя" луна и "червено" слънце

Нашите небесни тела, поне първоначално, ще бъдат цветни квадрати. Луната е синя, слънцето е червено (най-добро за оцветяване). с настоящето затъмнение Луната гони слънцето по небето, настига ... и го затваря. И при нас ще бъде така. Най-простият случай, когато Луната се движи спрямо Слънцето, както е показано на фиг. 2. Затъмнението започва, когато ръбът на лунния диск докосне ръба на слънчевия диск (фиг. 2) и завършва, когато излезе отвъд него.

Ориз. 3 Луната се приближава към слънцето по диагонал

Предполагаме, че "Луната" се движи с една клетка за единица време, например за минута. След това затъмнението продължава осем единици време, да речем минути. половината слънчеви затъмнения напълно затъмнен Половината на циферблата се затваря два пъти: след 2 и 6 минути. Графиката на процентното затъмнение е проста. През първите две минути щитът се затваря равномерно със скорост от нула до 1, следващите две минути се излага със същата скорост.

Ето един по-интересен пример (фиг. 3). Луната се приближава към слънцето по диагонал. Според нашето споразумение за плащане на минута, затъмнението продължава 8√2 минути - в средата на това време имаме пълно затъмнение. Нека изчислим каква част от слънцето е покрита след време t (фиг. 3). Ако са изминали t минути от началото на затъмнението и в резултат на това Луната е както е показано на фиг. 5, тогава (внимание!) Следователно тя е покрита (площта на квадрата APQR), равна на половината слънчев диск; следователно е покрита, когато, т.е. след 4 минути (след това 4 минути преди края на затъмнението).

Ориз. 4 Графика на функцията "засенчване".

Тоталност трае един момент (t = 4√2), а графиката на функцията "защрихована част" се състои от две дъги на параболи (фиг. 4).

Нашата синя луна ще докосне ъгъла с червеното слънце, но ще го покрие, като върви не диагонално, а леко диагонално. Интересна геометрия се появява, когато малко усложним движението (фиг. 6). Посоката на движение вече е векторна [4,3], тоест „четири клетки вдясно, три клетки нагоре“. Положението на Слънцето е такова, че затъмнението започва (позиция А), когато страните на "небесните тела" се сближат до една четвърт от дължината им. Когато Луната се премести в позиция B, тя ще затъмни една шеста от Слънцето, а в позиция C ще затъмни половината. В позиция D имаме пълно затъмнение и след това всичко се връща обратно, „както беше“.

Ориз. 5 Част от Слънцето, скрита през време t

Затъмнението завършва, когато Луната е в позиция G. То продължи толкова дълго, колкото дължина на сечението AG. Ако, както и преди, вземем за единица време времето, през което Луната преминава през „един квадрат“, тогава дължината на AG е равна. Ако се върнем към старата конвенция, че нашите небесни тела са 4 на 4, резултатът би бил различен (какво?). Както е лесно да се покаже, целта се затваря след t < 15. Графиката на функцията “процент на покритие на екрана” може да се види на фиг. 6.

Ориз. 6 Графика на функцията "процент на защита".

Уравнение за затъмнение и скок

Ориз. 7 Запушване на слънчевия диск по време на затъмнението, показано на фиг. 6

Проблемът със затъмненията би бил непълен, ако не разгледаме случая с кръговете. Това е много по-сложно, но нека се опитаме да разберем кога един кръг затъмнява половината от другия - и в най-простия случай, когато един от тях се движи по диаметъра, свързващ ги и двете. Чертежът е познат на притежателите на някаква кредитна карта.

Изчисляването на позицията на полетата е сложно, тъй като изисква, първо, познаване на формулата за площта на кръгов сегмент, второ, познаване на дъгата на ъгъла и трето (и най-лошото от всичко), способността за решаване на определено уравнение за скок. Няма да обяснявам какво е „транзитивно уравнение“, нека разгледаме един пример (фиг. 8).

Ориз. 8 "Сферично" затъмнение

Кръгла секция е "купата", която остава след изрязване на кръг с права линия. Площта на такъв сегмент е S = 1/2r²(φ-sinφ), където r е радиусът на окръжността, а φ е централният ъгъл, върху който лежи сегментът (фиг. 8). Това лесно се получава чрез изваждане на площта на триъгълника от площта на кръговия сектор.

Епизод О₁O₂ (разстоянието между центровете на кръговете) тогава е равно на 2rcosφ/2, а височината (широчина, „линия на талията“) h = 2rsinφ/2. И така, ако искаме да изчислим кога Луната ще покрие половината от слънчевия диск, трябва да решим уравнението: което след опростяване става:

Ориз. 9 Графики на две функции

Решението на такива уравнения надхвърля простата алгебра – уравнението съдържа както ъгли, така и техните тригонометрични функции. Уравнението е извън обсега на традиционните методи. Затова се казва да скочи. Нека първо разгледаме графиките на двете функции, т.е. функции и функции. Можем да прочетем приблизително решение от тази фигура. Въпреки това можем да получим итеративно приближение или... да използваме опцията Solver в електронната таблица на Excel. Всеки гимназист трябва да може да направи това, защото е 20-ти век. Използвах по-сложен инструмент на Mathematica и ето нашето решение с XNUMX десетични знака с ненужна точност:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Ориз. 10 Анимация на затъмнение по математика

Превръщаме това в градуси, като умножаваме по 180/π. Получаваме 132 градуса, 20 минути, 45 и четвърт дъгова секунда. Изчисляваме, че разстоянието до центъра на окръжността е O₁O₂ = 0,808 радиус, а "талия" 2,310.