Уравнения, кодове, шифри, математика и поезия

Михал Шурек казва за себе си: „Роден съм през 1946 г. Завърших Варшавския университет през 1968 г. и оттогава работя във Факултета по математика, информатика и механика. Научна специалност: алгебрична геометрия. Наскоро се занимавах с векторни пакети. Какво е векторен лъч? И така, векторите трябва да бъдат здраво завързани с конец и вече имаме куп. Моят приятел физик Антъни Сим ме накара да се присъединя към Young Technician (той признава, че трябва да получава хонорари от моите хонорари). Написах няколко статии и след това останах и от 1978 г. можете да прочетете всеки месец какво мисля за математиката. Обичам планината и въпреки наднорменото тегло се старая да ходя. Мисля, че учителите са най-важни. Бих държал политиците, каквито и да са техните възможности, в строго охранявана зона, за да не могат да избягат. Хранете веднъж на ден. Бигъл от Тулек ме харесва.

Уравнението е като шифър за математика. Решаването на уравнения, квинтесенцията на математиката, е четенето на шифрован текст. Това е забелязано от теолозите от XNUMX век. Йоан Павел II, който познаваше математиката, написа и спомена това няколко пъти в своите проповеди - за съжаление фактите са изтрити от паметта ми.

В училищната наука тя е представена Питагор като автор на теоремата за някаква зависимост в правоъгълен триъгълник. Така тя стана част от нашата европоцентрична философия. И все пак Питагор има много повече добродетели. Именно той налага на учениците си задължението да „опознават света“, от „какво има зад този хълм?“ преди да изучаваме звездите. Ето защо европейците са „открили” древни цивилизации, а не обратното.

Някои читатели си спомнятМодели Vièteи"; много по-възрастни читатели помнят самия термин от училище и приблизително факта, че въпросът се появява в квадратни уравнения. Тези закономерности са „идеологически“ криптиране информация.

Нищо чудно Франсоа Виет (1540-1603) се занимава с криптография в двора на Хенри IV (първият френски крал от династията на Бурбоните, 1553-1610) и успява да разбие шифъра, използван от британците във войната с Франция. Така че той играе същата роля като полските математици (начело с Мариан Реевски), които откриват тайните на немската шифрова машина Enigma преди Втората световна война.

модна тема

Точно. Темата "кодове и шифри" отдавна стана модерна в обучението. Вече писах за това няколко пъти и след два месеца ще има още една поредица. Този път пиша под впечатлението на филм за войната от 1920 г., където победата до голяма степен се дължи на нарушаването на кодекса на болшевишките войски от екип, ръководен от тогавашния млад Вацлав Серпински (1882-1969). Не, все още не е Enigma, това е само въведение. Спомням си сцена от филма, където Йозеф Пилсудски (изигран от Даниил Олбрихски) казва на ръководителя на отдела за шифроване:

Декодираните съобщения носеха важно послание: войските на Тухачевски нямаше да получат подкрепа. Можеш да атакуваш!

Познавах Вацлав Серпински (ако мога така да се изразя: бях млад студент, той беше известен професор), посещавах неговите лекции и семинари. Той създаваше впечатлението на изсъхнал учен, разсеян, зает със своята дисциплина и не виждащ другия свят. Той изнасяше специално лекции, с лице към черната дъска, без да гледа към публиката... но се чувстваше като изключителен специалист. По един или друг начин той имаше определени математически способности - например за решаване на задачи. Има и други — учени, които са сравнително лоши в решаването на пъзели, но които имат дълбоко разбиране на цялата теория и са способни да инициират цели области на творчество. Трябват ни и двете - въпреки че първият ще се движи по-бързо.

Вацлав Серпински никога не говори за постиженията си през 1920 г. До 1939 г. това определено трябваше да се пази в тайна, а след 1945 г. воюващите със Съветска Русия не се радваха на симпатиите на тогавашните власти. Моето убеждение, че учените са необходими, като армия, е доказано: „за всеки случай“. Ето президент Рузвелт, който се обажда на Айнщайн:

Изключителният руски математик Игор Арнолд открито и тъжно каза, че войната е оказала голямо влияние върху развитието на математиката и физиката (радарът и GPS също имат военен произход). Не навлизам в моралния аспект на използването на атомната бомба: тук удължаването на войната с една година и смъртта на няколко милиона наши войници - там страданията на невинни цивилни.

***

Бягам в познати райони - к. Много от нас играха с кодовете, може би разузнаване, може би просто така. Простите шифри, базирани на принципа на заместване на букви с други букви или други числа, рутинно се разбиват, ако уловим само няколко улики (например, познаем името на краля). Статистическият анализ също помага днес. По-лошо, когато всичко е променливо. Но най-лошото е, когато няма редовност. Помислете за кода, описан в „Приключенията на добрия войник Швейк“. Вземете книга, например „Потопът“. Ето предложенията на първа и втора страница.

Искаме да кодираме думата "CAT". Отваряме на страница 1 и следващата секунда. Откриваме, че на страница 1 буквата K първо се появява на 59-то място. Намираме петдесет и деветата дума от другата страна. Това е "а" дума. Сега буквата О. Отляво е 16-та дума, а шестнадесетата вдясно е "г-н." Буквата Т е на 95-то място, ако преброих правилно, а деветдесет и петата дума отдясно е "о". И така, КАТ = 1 ЛОРД О.

Шифър, който не може да се отгатне, макар и болезнено бавен както за криптиране, така и за ... за отгатване. Да предположим, че искаме да предадем буквата M. Можем да проверим дали я кодираме с думата "Wołodyjowski". А след нас вече подготвят затворническа килия. Можем да разчитаме само на замяна! Освен това контраразузнаването отбелязва доклади на тайни служители, че от известно време клиентите охотно купуват първия том на Потопа.

Моята статия е принос към тази теза: дори най-странните идеи на математиците могат да намерят приложение в широко разбрана практика. Например, възможно ли е да си представим по-малко полезно математическо откритие от теста за делимост на ... на 47?

Кога имаме нужда от него в живота? И ако е така, ще бъде по-лесно да се опитате да го разделите. Ако дели, значи е добре, ако не, тогава ... на второ място е добре (знаем, че не дели).

Как да споделям и защо

След това въведение да преминем към. Вие, читатели, знаете ли признаци за делимост? Определено. Четните числа завършват на 2, 4, 6, 8 или нула. Едно число се дели на три, ако сборът от неговите цифри се дели на три. По същия начин със знака за делимост на девет - сборът от цифрите трябва да се дели на девет.

Кой има нужда от него? Ще излъжа, ако убедя Читателя, че е добър за нещо друго освен... училищни задачи. Е, и още една характеристика на делимост на 4 (и какво е това, Читателю? Може би ще я използвате, когато искате да знаете на коя година се пада следващата олимпиада ...). Но характеристиката на делимост на 47? Това вече е главоболие. Ще разберем ли някога дали нещо се дели на 47? Ако да, вземете калкулатор и вижте.

Това е. Прав си, Читателю. И все пак, четете нататък. Вие сте добре дошъл.

Знак за делимост на 47: Числото 100+ се дели на 47 само ако 47 се дели на +8.

Математикът ще се усмихне със задоволство: „Бей, хубавец“. Но математиката си е математика. Доказателствата са важни и ние обръщаме внимание на тяхната красота. Как да докажем нашата черта? Много е просто. Извадете от 100 + числото 94 - 47 = 47 (2 -). Получаваме 100+-94+47=6+48=6(+8).

Извадихме число, което се дели на 47, така че ако 6 (+ 8) се дели на 47, то и 100 +. Но числото 6 е взаимно просто с 47, което означава, че 6 (+ 8) се дели на 47, ако и само ако е + 8. Край на доказателството.

Да видим Няколко примера.

8805685 се дели на 47? Ако наистина се интересуваме от това, ще разберем по-рано, просто като ни разделят, както са ни учили в началното училище. По един или друг начин сега във всеки мобилен телефон има калкулатор. Разделен? Да, частен 187355.

Е, нека видим какво ни казва знакът за делимост. Прекъсваме последните две цифри, умножаваме ги по 8, добавяме резултата към „осеченото число“ и правим същото с полученото число.

8805685 → 88056 + 8 · 85 = 88736 → 887 + 8 · 36 = 1175 → 11 + 8 · 75 = 611 → 6 + 8 · 11 = 94.

Виждаме, че 94 се дели на 47 (частното е 2), което означава, че първоначалното число също се дели. Глоба. Но какво ще стане, ако продължим да се забавляваме?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Сега трябва да спрем. Четиридесет и седем се дели на 47, нали?

Наистина ли трябва да спрем? Ами ако отидем по-далеч? Боже, всичко може да се случи... Ще пропусна подробностите. Може би само началото:

47 → 0 + 8·47 = 376 → 3 + 8·76 = 611 → 6 + 8·11 = 94 → 0 + 8·94 = 752.

Но, за съжаление, това е толкова пристрастяващо, колкото дъвченето на семена ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ах, четиридесет и седем. Случвало се е и преди. Какво следва? . Един и същ. Числата вървят в цикъл по следния начин:

Наистина е интересно. Толкова много примки.

две следните примери.

Искаме да знаем дали 10017627 се дели на 47. Защо се нуждаем от това знание? Ние помним принципа: горко на знанието, което не помага на знаещия. Знанието винаги е там за нещо. Ще е за нещо, но сега няма да обяснявам. Още няколко акаунта:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

— Той смени чичо си от брадва в тояга. Какво получаваме от всичко това?

Е, нека повторим хода на производството. Тоест, ние ще продължим да правим това (тоест думата „итерация“).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Нека спрем играта, разделим като в училище (или на калкулатор): 235 = 5 47. Бинго. Оригиналното число 10017627 се дели на 47.

Много добре!

Ами ако отидем по-далеч? Повярвайте ми, можете да го проверите.

И още един интересен факт. Искаме да проверим дали 799 се дели на 47. Използваме функцията за делимост. Прекъсваме последните две цифри, умножаваме полученото число по 8 и добавяме към това, което остава:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

какво имаме? Дели се 799 на 47, ако и само ако 799 се дели на 47? Да, така е, но за това не е нужна математика!!! Маслото е мазно (поне това масло е мазно).

За листата, пиратите и края на шегите!

Още две истории. Къде е най-добре да скриете листо? Отговорът е очевиден: в гората! Но как можете да го намерите тогава?

Вторият знаем от книги за пирати, които сме чели преди много време. Пиратите направиха карта на мястото, където заровиха съкровището. Други или го откраднаха, или спечелиха битката. Но картата не посочва за кой остров е предназначена. И потърсете себе си! Разбира се, пиратите се справиха с това (мъчение) - шифрите, за които говоря, също могат да бъдат извлечени с такива методи.

Край на шегите. Читател! Създаваме шифър. Аз съм шпионин под прикритие и използвам „Младши техник“ като поле за контакт. Препращайте ми криптирани съобщения, както следва.

Първо, преобразувайте текста в низ от числа, като използвате кода: AB CDEFGH IJ KLMN НА RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Както можете да видите, ние не използваме полски диакритици (т.е. без ą, ę, ć, ń, ó, ś) и неполски q, v - но неполският x е там за всеки случай. Нека включим още 25 като интервал (разстояние между думите). О, най-важното. Моля, приложите код № 47.

Знаеш какво означава това. Отиваш при приятел математик.

Очите на приятеля се разшириха от изненада.

Отговаряш гордо:

Математик ви дарява с тази черта... и вече знаете, че незабележима изглеждаща функция се използва за криптиране

защото такъв модел е описано действие

100+→+8.

Така че, когато искате да знаете какво означава число, като 77777777 в криптирано съобщение, използвате функцията

100+→+8

докато не получите число между 1 и 25. Сега погледнете изричния буквено-цифров код. Да видим: 77777777 →... Оставям това на вас като задача. Но да видим какво крие буква 48? Хайде да четем:

48 → 0 + 8 48 = 384.

След това получаваме на свой ред:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432...

Краят не се вижда. Едва след шестдесетия (!) път ще се появи число по-малко от 25. Това е 3, което означава, че 48 е буквата C.

И какво ни дава това съобщение? (Искам да ви напомня, че използваме код номер 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373

Е, помислете, какво толкова сложно, едни сметки. Ние започнахме. Начало на 80. Известно правило:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Продължава така:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Яжте! Първата буква на съобщението е K. Phew, лесно, но колко време ще отнеме?

Нека да видим и колко проблеми трябва да имаме с числото 1234567. Едва на шестнадесетия път ще получим число по-малко от 25, а именно 12. Значи 1234567 е L.

Добре, може да се каже, но тази аритметична операция е толкова проста, че програмирането й на компютър веднага ще разруши кода. Да, това е вярно. Това са прости компютърни изчисления. идея с публичен шифър и също така става дума за затрудняване на изчисленията за компютъра. Нека работи поне сто години. Ще дешифрира ли съобщението? Няма значение. Дълго време няма да има значение. За това (повече или по-малко) става дума в публичните шифри. Те могат да бъдат счупени, ако работите много дълго време ... докато новините вече не са актуални.

 винаги е раждало "противооръжия". Всичко започна с меч и щит. Тайните служби плащат огромни суми на талантливи математици, за да измислят методи за криптиране, които компютрите (включително създадените от нас) няма да могат да разбият през XNUMX век.

двадесет и втори век? Не е толкова трудно да се знае, че вече има много хора по света, които ще живеят в този прекрасен век!

О, а? Какво ще стане, ако помоля (аз, Тайният служител, с когото се свърза „Младият техник“) да шифровам с код номер 23? или 17? просто:

Дано никога не трябва да използваме математиката за такива цели.

***

Заглавието на статията е за поезията. Какво общо има тя с това?

Като например? Поезията също криптира света.

Как?

По своите методи - подобни на алгебричните.