ТАКА НА КОЙ, тоест: ПРОБВАЙ КЪДЕТО МОЖЕШ - 2 част

В предишния епизод се занимавахме със Sudoku, аритметична игра, в която числата основно са подредени в различни диаграми според определени правила. Най-често срещаният вариант е шахматна дъска 9×9, допълнително разделена на девет клетки 3×3. Числата от 1 до 9 трябва да бъдат поставени върху него, така че да не се повтарят нито във вертикален ред (математиците казват: в колона), нито в хоризонтален ред (математиците казват: в ред) - и освен това, така че те не се повтарят. повторете във всеки по-малък квадрат.

Na фиг. 1 виждаме този пъзел в по-опростен вариант, който представлява квадрат 6 × 6, разделен на правоъгълници 2 × 3. Вмъкваме в него числата 1, 2, 3, 4, 5, 6 - така че да не се повтарят вертикално, нито хоризонтално, нито във всеки от избраните шестоъгълници.

Нека опитаме показаното в горния квадрат. Можете ли да го попълните с числа от 1 до 6 според правилата, определени за тази игра? Възможно е - но двусмислено. Да видим - начертайте квадрат отляво или квадрат отдясно.

Можем да кажем, че това не е основата на пъзела. Обикновено приемаме, че пъзелът има едно решение. Задачата за намиране на различни бази за "голямото" Судоку, 9x9, е трудна задача и няма шанс за пълното й решаване.

Друга важна връзка е противоречивата система. Долният среден квадрат (този с числото 2 в долния десен ъгъл) не може да бъде завършен. Защо?

Забавления и отстъпления

Играем нататък. Да използваме детската интуиция. Те вярват, че забавлението е въведение в ученето. Да отидем в космоса. включен фиг. 2 всеки вижда мрежата тетраедърот топки, например, топки за пинг-понг? Припомнете си училищните уроци по геометрия. Цветовете от лявата страна на снимката обясняват за какво е залепен при сглобяването на блока. По-специално, три ъглови (червени) топки ще бъдат залепени в една. Следователно те трябва да бъдат еднакви. Може би 9. Защо? И защо не?

О, не съм го изразил задачи. Звучи така: възможно ли е да се впишат числата от 0 до 9 във видимата мрежа, така че всяко лице да съдържа всички числа? Задачата не е трудна, но колко трябва да си представите! Няма да развалям удоволствието на читателите и няма да дам решение.

Това е много красива и подценявана форма. правилен октаедър, изграден от две пирамиди (=пирамиди) с квадратна основа. Както подсказва името, октаедърът има осем лица.

В октаедъра има шест върха. Това противоречи кубкойто има шест лица и осем върха. Ръбовете на двете бучки са еднакви - по дванадесет. Това двойни твърди тела - това означава, че чрез свързване на центровете на лицата на куба получаваме октаедър, а центровете на лицата на октаедъра ще ни дадат куб. И двата удара се изпълняват („защото трябва“) формула на Ойлер: Сумата от броя на върховете и броя на лицата е с 2 повече от броя на ръбовете.

3. Правилен октаедър в успоредна проекция и октаедърна решетка, съставена от сфери по такъв начин, че всеки ръб да има четири сфери.

Задача 1. Първо, запишете последното изречение от предишния параграф, като използвате математическа формула. На фиг. 3 виждате октаедрична мрежа, също съставена от сфери. Всеки ръб има четири топки. Всяко лице е триъгълник от десет сфери. Проблемът се задава самостоятелно: възможно ли е да се поставят числа от 0 до 9 в кръговете на решетката, така че след залепване на твърдо тяло всяка стена да съдържа всички числа (оттук следва, че без повторение). Както и преди, най-голямата трудност в тази задача е как мрежата се трансформира в твърдо тяло. Не мога да го обясня писмено, така че и тук не давам решението.

4. Два икосаедъра от топки за пинг-понг. Обърнете внимание на различната цветова схема.

вече Платон (и той е живял през XNUMX-XNUMX в. пр. н. е.) познавал всички правилни полиедри: тетраедър, куб, октаедър, додекаедър i icosahedron. Удивително е как се озова там – без молив, без хартия, без химикал, без книги, без смартфон, без интернет! Тук няма да говоря за додекаедъра. Но икосаедричното судоку е интересно. Виждаме тази бучка илюстрация 4и неговата мрежа фиг. 5.

5. Правилна мрежа на икосаедъра.

Както и преди, това не е решетка в смисъла, в който си спомняме (?!) от училище, а начин за залепване на триъгълници от топчета (топки).

Задача 2. Колко топки са необходими, за да се построи такъв икосаедър? Вярно ли е следното разсъждение: тъй като всяко лице е триъгълник, ако трябва да има 20 лица, тогава са необходими до 60 сфери?

6. Решетка на икосаедър от сфери. Всеки кръг е например топка за пинг-понг, но изграждането на кръгове върху кръгове, маркирани с един и същи цвят, се слива в едно. Така че имаме дванадесет сфери (= дванадесет върха: червено, синьо, лилаво, синьо и осем жълти).

Лесно е да се види, че три числа в икосаедъра не са достатъчни. По-точно: невъзможно е да се изброят върхове с числа 1, 2, 3, така че всяко (триъгълно) лице да има тези три числа и да няма повторения. Възможно ли е с четири числа? Да възможно е! Нека да разгледаме Ориз. 6 и 7.

7. Ето как да номерирате сферите, които съставляват икосаедъра, така че всяко лице да съдържа числа, различни от 1, 2, 3, 4. Кое от телата на фиг. 4 е оцветен така?

Задача 3. Три от четирите числа могат да бъдат избрани по четири начина: 123, 124, 134, 234. Намерете пет такива триъгълника в икосаедъра на фиг. 7 (както и от илюстрации един).

Упражнение 4 (изисква много добро пространствено въображение). Икосаедърът има дванадесет върха, което означава, че може да бъде залепен заедно от дванадесет топки (фиг. 7). Имайте предвид, че има три върха (=топки), обозначени с 1, три с 2 и т.н. Така топки от един и същи цвят образуват триъгълник. Какъв е този триъгълник? Може би равностранен? Погледни отново илюстрации един.

Следващата задача за дядо/баба и внук/внучка. Родителите най-накрая също могат да опитат силата си, но се нуждаят от търпение и време.

Задача 5. Купете дванадесет (за предпочитане 24) топки за пинг-понг, около четири цвята боя, четка и правилното лепило - не препоръчвам бързи като Superglue или Droplet, защото изсъхват твърде бързо и са опасни за децата. Залепете икосаедъра. Облечете внучката си в тениска, която ще се изпере (или изхвърли) веднага след това. Покрийте масата с фолио (за предпочитане с вестници). Внимателно оцветете икосаедъра с четири цвята 1, 2, 3, 4, както е показано на фиг. фиг. 7. Можете да промените реда - първо оцветете балоните и след това ги залепете. В същото време малките кръгове трябва да се оставят небоядисани, така че боята да не залепва за боята.

Сега най-трудната задача (по-точно цялата им последователност).

Упражнение 6 (По-точно общата тема). Начертайте икосаедъра като тетраедър и октаедър върху Ориз. 2 и 3 Това означава, че трябва да има четири топки на всеки ръб. В този вариант задачата е едновременно трудоемка и дори скъпа. Нека започнем, като разберем колко топки са ви необходими. Всяко лице има десет сфери, така че икосаедърът се нуждае от двеста? Не! Трябва да помним, че много топки се споделят. Колко ръба има един икосаедър? Може да се изчисли старателно, но за какво е формулата на Ойлер?

w–k+s=2

където w, k, s са съответно броят на върховете, ръбовете и лицата. Помним, че w = 12, s = 20, което означава k = 30. Имаме 30 ръба на икосаедъра. Можете да го направите по различен начин, защото ако има 20 триъгълника, тогава те имат само 60 ръба, но два от тях са общи.

Нека изчислим колко топки са ви необходими. Във всеки триъгълник има само една вътрешна топка - нито в горната част на тялото ни, нито на ръба. Така имаме общо 20 такива топки. Има 12 върха. Всеки ръб има две невърхови топки (те са вътре в ръба, но не и вътре в лицето). Тъй като има 30 ръба, има 60 топчета, но два от тях са споделени, което означава, че имате нужда само от 30 топчета, така че имате нужда от общо 20 + 12 + 30 = 62 топчета. Топките могат да се купят за поне 50 стотинки (обикновено по-скъпи). Ако добавите цената на лепилото, ще излезе ... много. Доброто залепване изисква няколко часа старателна работа. Заедно са подходящи за релаксиращо забавление – препоръчвам ги вместо например да гледате телевизия.

Отстъпление 1. Във филмовата поредица на Анджей Вайда „Години, дни“ двама мъже играят шах, „защото трябва по някакъв начин да прекарат времето до вечеря“. Действието се провежда в галисийския Краков. Наистина: вестниците вече са прочетени (тогава имаха 4 страници), телевизия и телефон все още не са измислени, няма футболни мачове. Скука в локвите. В такава ситуация хората измислиха забавление за себе си. Днес ги имаме след натискане на дистанционното...

Отстъпление 2. На срещата на Асоциацията на учителите по математика през 2019 г. испански професор демонстрира компютърна програма, която може да боядисва плътни стени във всеки цвят. Беше малко страховито, защото нарисуваха само ръцете, почти отрязаха тялото. Помислих си: колко забавление можеш да получиш от такова „засенчване“? Всичко отнема две минути, а до четвъртата нищо не помним. Междувременно старомодно „ръкоделие“ успокоява и възпитава. Който не вярва, нека опита.

Да се ​​върнем към XNUMX век и към нашите реалности. Ако не искаме релаксация под формата на отнемащо време залепване на топки, тогава ще нарисуваме поне решетка от икосаедър, чиито ръбове имат четири топки. Как да го направим? Нарежете го правилно фиг. 6. Внимателният читател вече отгатва проблема:

Задача 7. Възможно ли е да се изброят топчетата с числа от 0 до 9, така че всички тези числа да се появяват на всяка страна на такъв икосаедър?

За какво ни плащат?

Днес често си задаваме въпроса за целта на нашата дейност, а „сивият данъкоплатец“ ще попита защо трябва да плаща на математиците да решават подобни пъзели?

Отговорът е доста прост. Такива „пъзели“, интересни сами по себе си, са „фрагмент от нещо по-сериозно“. В крайна сметка военните паради са само външна, зрелищна част от трудната служба. Ще дам само един пример, но ще започна със странен, но международно признат математически предмет. През 1852 г. английски студент попита професора си дали е възможно да се оцвети карта с четири цвята, така че съседните страни винаги да се показват в различни цветове? Позволете ми да добавя, че ние не считаме за „съседи“ онези, които се срещат само в една точка, като щатите Уайоминг и Юта в САЩ. Професорът не знаеше... и проблемът чакаше решение повече от сто години.

8. Икосаедър от RECO блокове. Светкавичните рефлектори показват какво общо има икосаедърът с триъгълника и петоъгълника. Пет триъгълника се събират във всеки връх.

Случи се по неочакван начин. През 1976 г. група американски математици написаха програма за решаване на този проблем (и решиха: да, четири цвята винаги ще са достатъчни). Това беше първото доказателство за математически факт, получен с помощта на "математическа машина" - както преди половин век се наричаше компютър (и дори по-рано: "електронен мозък").

Ето специално показана „карта на Европа“ (фиг. 9). Тези държави, които имат обща граница, са свързани. Оцветяването на картата е същото като оцветяването на кръговете на тази графика (наречена графика), така че няма свързани кръгове да са от същия цвят. Поглед към Лихтенщайн, Белгия, Франция и Германия показва, че три цвята не са достатъчни. Ако желаете, Читателю, оцветете го с четири цвята.

9. Кой с кого граничи в Европа?

Е, да, но струва ли си парите на данъкоплатците? Така че нека разгледаме същата графика малко по-различно. Забравете, че има държави и граници. Нека кръговете символизират информационни пакети, които трябва да бъдат изпратени от една точка до друга (например от P до EST), а сегментите представляват възможни връзки, всяка от които има своя собствена честотна лента. Изпратете възможно най-скоро?

Първо, нека разгледаме една много опростена, но и много интересна ситуация от математическа гледна точка. Трябва да изпратим нещо от точка S (= като начало) до точка M (= край), използвайки мрежа от връзки със същата честотна лента, да речем 1. Виждаме това в фиг. 10.

10. Мрежа от връзки от Statsyika Zdrój до Megapolis.

Нека си представим, че около 89 бита информация трябва да бъдат изпратени от S към M. Авторът на тези думи харесва проблемите с влаковете, затова си представя, че е управител в Stacie Zdrój, откъдето трябва да изпрати 144 вагона. до метрополис гара. Защо точно 144? Защото, както ще видим, това ще се използва за изчисляване на пропускателната способност на цялата мрежа. Капацитетът е 1 във всяка партида, т.е. една кола може да мине за единица време (един информационен бит, вероятно и Gigabyte).

Нека се уверим, че всички коли се срещат по едно и също време в М. Всички стигат до там за 89 единици време. Ако имам много важен информационен пакет от S до M за изпращане, го разделям на групи от 144 единици и го прокарвам, както по-горе. Математиката гарантира, че това ще бъде най-бързо. Как разбрах, че имате нужда от 89? Всъщност предполагах, но ако не предполагах, ще трябва да го разбера уравнения на Кирхоф (някой помни ли? - това са уравнения, описващи протичането на ток). Честотната лента на мрежата е 184/89, което е приблизително равно на 1,62.

Относно радостта

Между другото, харесвам номера 144. Обичах да се возя с автобуса с този номер до площада на замъка във Варшава – когато до него нямаше реставриран Кралски замък. Може би младите читатели знаят какво са дузина. Това са 12 екземпляра, но само по-възрастните читатели си спомнят, че дузина, т.е. 122=144, това е така наречената партида. И всеки, който знае математика малко повече от училищната програма, веднага ще разбере това фиг. 10 имаме числа на Фибоначи и че честотната лента на мрежата е близка до "златното число"

В последователността на Фибоначи 144 е единственото число, което е перфектен квадрат. Сто четиридесет и четири също е „радостно число“. Ето как индийски математик любител Дататрея Рамачандра Капрекар през 1955 г. той наименува числа, които се делят на сбора от съставните им цифри:

Ако го знаеше Адам Мискевич, той със сигурност би написал не в Dzyady: „От чужда майка; кръвта му е старите му герои / И името му е четиридесет и четири, само по-елегантно: И името му е сто четиридесет и четири.

Вземете сериозно забавлението

Надявам се, че съм убедил читателите, че пъзелите Судоку са забавната страна на въпросите, които със сигурност заслужават да бъдат взети сериозно. Не мога да развивам тази тема повече. О, изчисление на пълната честотна лента на мрежата от предоставената диаграма фиг. 9 писането на система от уравнения би отнело два или повече часа - може би дори десетки секунди (!) работа с компютър.