Пътуване в нереалния свят на математиката

Написах тази статия в една от среди, след лекция и практика в колеж по компютърни науки. Защитавам се от критиките към учениците на това училище, техните знания, отношение към науката и най-важното: преподавателски умения. Това... никой не ги учи.

Защо съм толкова отбранителен? По проста причина - аз съм на възраст, когато вероятно светът около нас все още не е разбран. Може би ги уча да впрягат и разпрягат коне, а не да карат кола? Може би ги уча да пишат с перо? Въпреки че имам по-добро мнение за даден човек, смятам, че „следвам“, но...

Доскоро в гимназията се говореше за комплексни числа. И точно тази сряда се прибрах, напуснах - почти никой от учениците още не е научил какво е това и как се използват тези номера. Някои гледат на цялата математика като гъска на боядисана врата. Но също така бях искрено изненадан, когато ми казаха как да уча. Просто казано, всеки час лекция е два часа домашна работа: четене на учебник, учене как да решавате задачи по дадена тема и т.н. Подготвени по този начин, стигаме до упражненията, където подобряваме всичко ... Приятно е, че студентите очевидно смятат, че седенето на лекцията - най-често гледайки през прозореца - вече гарантира навлизането на знания в главата.

Спри се! Стига с това. Ще опиша отговора си на въпрос, който получих по време на час със стипендианти от Националния детски фонд, институция, която подкрепя талантливи деца от цялата страна. Въпросът (или по-скоро предложението) беше:

— Бихте ли ни казали нещо за нереалните числа?

„Разбира се“, отвърнах аз. 

Реалността на числата

„Приятел е друг аз, приятелството е съотношението на числата 220 и 284“, каза Питагор. Въпросът тук е, че сумата от делителите на числото 220 е 284, а сумата от делителите на числото 284 е 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Между другото, отбелязваме, че библейският Яков даде на Исав 220 овце и овни в знак на приятелство (Битие 32:14 ).

Друго интересно съвпадение между числата 220 и 284 е следното: седемнадесетте най-високи прости числа са 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, и 59.

Техният сбор е 2x220, а сборът на квадратите е 59x284.

Първо. Няма понятие "реално число". Това е все едно след като прочетете статия за слоновете, да попитате: „Сега ще питаме за неслонове“. Има цели и нецялостни, рационални и ирационални, но няма нереални. По-конкретно: числа, които не са реални, не се наричат ​​невалидни. В математиката има много видове "числа" и те се различават едно от друго, като - да направим зоологическо сравнение - слон и земен червей.

Второ, ще извършим операции, за които може би вече знаете, че са забранени: извличане на корен квадратен от отрицателни числа. Е, математиката ще преодолее такива бариери. Има ли смисъл обаче? В математиката, както във всяка друга наука, дали една теория ще влезе завинаги в хранилището на знанието зависи ... от нейното приложение. Ако е безполезен, тогава се озовава в боклука, после в някой боклук на историята на знанието. Без числата, за които говоря в края на тази статия, е невъзможно да се развива математика. Но да започнем с някои дребни неща. Какво са реални числа, знаете. Те запълват числовата линия плътно и без пропуски. Знаете и кои са естествените числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. – всички те няма да се поберат в памет дори най-голямата. Те също имат красиво име: естествени. Те имат толкова много интересни свойства. Как ви харесва това:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

„Естествено е да се интересуваме от естествените числа“, каза Карл Линденхолм, а Леополд Кронекер (1823–1891) го изрази лаконично: „Бог е създал естествените числа – всичко останало е дело на човека!“ Дроби (наричани от математиците рационални числа) също имат невероятни свойства:

и в равенство:

можете, като започнете от лявата страна, да разтриете плюсовете и да ги замените със знаци за умножение - и равенството ще остане вярно:

И така нататък.

Както знаете, за дроби a/b, където a и b са цели числа и b ≠ 0, те казват рационално число. Но само на полски те се наричат ​​така. Говорят английски, френски, немски и руски. рационално число. На английски: рационални числа. Ирационални числа това е ирационално, ирационално. Говорим и полски за ирационални теории, идеи и дела – това е лудост, въображаемо, необяснимо. Казват, че жените се страхуват от мишки – не е ли толкова ирационално?

В древни времена числата са имали душа. Всеки означаваше нещо, всеки символизираше нещо, всеки отразяваше частица от тази хармония на Вселената, тоест на гръцки Космос. Самата дума "космос" означава точно "ред, ред". Най-важните бяха шест (съвършеното число) и десет, сборът от последователните числа 1+2+3+4, съставени от други числа, чиято символика е оцеляла и до днес. Така Питагор учи, че числата са началото и източника на всичко и само откритието ирационални числа обърна питагорейското движение към геометрията. Ние знаем мотивите от училище, че

√2 е ирационално число

Защото да предположим, че има: и че тази дроб не може да бъде намалена. По-специално, и p, и q са нечетни. Нека квадратираме: 2q²=p². Числото p не може да бъде нечетно, тъй като тогава p² също би било, а лявата страна на равенството е кратна на 2. Следователно p е четно, т.е. p = 2r, следователно p²= 4r². Намаляваме уравнението 2q²= 4r² по 2. Получаваме q²= 2r² и виждаме, че q също трябва да е четно, което предполагахме, че не е така. Полученото противоречие допълва доказателството - тази формула често може да се намери във всяка математическа книга. Това косвено доказателство е любим трик на софистите.

Тази необятност не може да бъде разбрана от питагорейците. Всичко трябва да може да се опише с числа, а диагоналът на квадрат, който всеки може да начертае с пръчка по пясъка, няма, тоест измерима дължина. „Нашата вяра беше напразна“, изглежда казват питагорейците. Как така? Това е някак... ирационално. Съюзът се опита да се спаси със сектантски методи. Всеки, който се осмели да разкрие съществуването си ирационални числа, трябвало да бъде наказан със смърт и, очевидно, първата присъда е била изпълнена от самия господар.

Но „мисълта премина невредима“. Златният век настъпи. Гърците побеждават персите (Маратон 490, Блок 479). Укрепна се демокрацията, възникнаха нови центрове на философска мисъл и нови школи. Питагорейците все още се борят с ирационалните числа. Някои проповядват: ние няма да разберем тази тайна; можем само да съзерцаваме и да се удивляваме на Uncharted. Последните бяха по-прагматични и не уважаваха Мистерията. По това време се появяват две ментални конструкции, които правят възможно разбирането на ирационалните числа. Фактът, че днес ги разбираме достатъчно добре, принадлежи на Евдокс (XNUMX век пр.н.е.) и едва в края на XNUMX век немският математик Рихард Дедекинд дава на теорията на Евдокс правилното развитие в съответствие с изискванията на строгия математическа логика.

Маса от фигури или мъчения

Бихте ли могли да живеете без числа? Дори ако какъв би бил животът... Ще трябва да отидем до магазина, за да купим обувки с пръчка, на която предварително сме измерили дължината на крака. „Бих искал ябълки, а, ето ги!“ – бихме показали продавачи на пазара. „Колко разстояние е от Модлин до Nowy Dwur Mazowiecki“? "Доста близо!"

Числата се използват за измерване. С тяхна помощ ние изразяваме и много други концепции. Например, мащабът на картата показва колко е намаляла площта на страната. Скала две към едно, или просто 2, изразява факта, че нещо е удвоено по размер. Да кажем математически: на всяка хомогенност отговаря число – неговия мащаб.

задача. Направихме ксерографско копие, като увеличихме изображението няколко пъти. След това увеличеният фрагмент отново беше увеличен b пъти. Каква е общата скала за увеличение? Отговор: a × b, умножено по b. Тези скали трябва да се умножат. Числото "минус едно", -1, съответства на една точност, която е центрирана, т.е. завъртяна на 180 градуса. Кое число съответства на завой от 90 градуса? Няма такъв номер. Така е, така е… или по-скоро ще бъде скоро. Готови ли сте за морални мъчения? Бъдете смели и вземете корен квадратен от минус едно. Слушам? Какво не можеш? Все пак ти казах да бъдеш смел. Изваждам го! Ей, добре, дръпни, дръпни... Ще помогна... Ето: -1 Сега, когато го имаме, нека се опитаме да го използваме... Разбира се, сега можем да извлечем корените на всички отрицателни числа, за пример.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

„Независимо от душевното страдание, което води до това.“ Това пише Джироламо Кардано през 1539 г., опитвайки се да преодолее умствените затруднения, свързани с - както скоро започва да се нарича - въображаеми количества. Той смяташе тези...

...задача. Разделете 10 на две части, чийто продукт е 40. Спомням си, че от предишния епизод той написа нещо подобно: Със сигурност невъзможно. Но нека направим следното: разделете 10 на две равни части, всяка равна на 5. Умножете ги - получи се 25. От получените 25 сега извадете 40, ако желаете, и получавате -15. Вижте сега: √-15 добавено и извадено от 5 ви дава произведението от 40. Това са числата 5-√-15 и 5 + √-15. Проверката на резултата беше извършена от Cardano, както следва:

„Независимо от сърдечната болка, която води до себе си, умножете 5 + √-15 по 5-√-15. Получаваме 25 - (-15), което е равно на 25 + 15. И така, продуктът е 40 .... Наистина е трудно“.

Е, колко е: (1 + √-1) (1-√-1)? Да умножим. Не забравяйте, че √-1 × √-1 = -1. Страхотен. Сега по-трудна задача: от a + b√-1 до ab√-1. Какво стана? Разбира се, така: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Какво е интересното в това? Например фактът, че можем да разлагаме на множители изрази, които „не знаехме преди“. Съкратената формула за умножение за²-b² Помните ли формулата за²+b² не беше, защото не можеше да бъде. В областта на реалните числа, полиномът²+b² това е неизбежно. Нека обозначим "нашия" квадратен корен от "минус едно" с буквата i.²= -1. Това е "нереално" просто число. И това описва завъртане на самолет на 90 градуса. Защо? След всичко,²= -1 и комбинирането на едно завъртане на 90 градуса и друго завъртане на 180 градуса дава завъртане на 45 градуса. Какъв тип ротация е описан? Очевидно завой от XNUMX градуса. Какво означава -i? Малко по-сложно е:

(-I)² = -i × (-i) = +i² = -1

Така че -i също така описва завъртане на 90 градуса, точно в обратната посока на въртенето на i. Кое е ляво и кой е дясно? Трябва да си уговорите среща. Приемаме, че числото i определя въртене в посоката, която математиците считат за положителна: обратно на часовниковата стрелка. Числото -i описва въртене в посоката, в която се движат стрелките.

Но съществуват ли числа като i и -i? са! Просто ги съживихме. Слушам? Че съществуват само в главата ни? Е, какво да очакваме? Всички други числа също съществуват само в нашия ум. Трябва да видим дали номерата на нашите новородени оцелеят. По-точно дали дизайнът е логичен и дали ще са полезни за нещо. Моля, повярвайте ми на думата, че всичко е наред и че тези нови номера са наистина полезни. Числа като 3+i, 5-7i, по-общо: a+bi се наричат ​​комплексни числа. Показах ви как можете да ги получите, като завъртите самолета. Те могат да бъдат въведени по различни начини: като точки от равнина, като някои полиноми, като някакъв вид числови масиви ... и всеки път те са едни и същи: уравнението x² +1=0 няма елемент... хокус покус вече е там!!!! Да се ​​радваме и да се радваме!!!

Край на обиколката

С това приключваме първата ни обиколка из страната на фалшивите номера. От другите неземни числа ще спомена и тези, които имат безкраен брой цифри отпред, а не отзад (те се наричат ​​10-адични, за нас са по-важни p-адичните, където p е просто число), т.к. пример X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Нека преброим X, моля². Като? Ами ако изчислим квадрата на число, последвано от безкраен брой цифри? Е, нека направим същото. Знаем, че х² = X

Нека намерим друго такова число с безкраен брой цифри отпред, което удовлетворява уравнението. Съвет: квадратът на число, което завършва на шест, също завършва на шест. Квадратът на число, което завършва на 76, също завършва на 76. Квадратът на число, което завършва на 376, също завършва на 376. Квадратът на число, което завършва на 9376, също завършва на 9376. Квадратът на число, което завършва на XNUMX на… Има и числа, които са толкова малки, че като са положителни, остават по-малки от всяко друго положително число. Те са толкова малки, че понякога е достатъчно да ги квадратурирате, за да получите нула. Има числа, които не отговарят на условието a × b = b × a. Има и безкрайни числа. Колко естествени числа има? Безкрайно много? Да, но колко? Как може да се изрази това като число? Отговор: най-малкото от безкрайните числа; той е отбелязан с красива буква: A и допълнен с нулев индекс A₀ , алеф-нула.

Има и числа, за които не знаем, че съществуват... или в които можете да вярвате или да не вярвате, както пожелаете. И като говорим за подобно: надявам се, че все още харесвате Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.