Защо не разделим на нула?
Съдържание
Читателите може да се чудят защо посвещавам цяла статия на такъв банален въпрос? Причината е зашеметяващият брой студенти (!), които небрежно извършват операцията под името. И не само студенти. Понякога хващам и учители. Какво ще могат учениците на такива учители по математика? Непосредствената причина за написването на този текст беше разговор с учител, за който деленето на нула не беше проблем ...
С нула, да, с изключение на главоболието за нищо, защото всъщност няма нужда да го използваме в ежедневието. Ние не пазаруваме за нула яйца. „В стаята има един човек“ звучи някак естествено, а „нула хора“ звучи изкуствено. Лингвистите казват, че нулата е извън езиковата система.
Можем да се справим и без нулата в банковите сметки: просто използвайте - както на термометър - червено и синьо за положителни и отрицателни стойности (имайте предвид, че за температура е естествено да използвате червено за положителни числа, а за банкови сметки - е обратното, защото дебитът трябва да задейства предупреждение, така че червеното е силно препоръчително).
Включвайки нула като естествено число, ние засягаме проблема за диференциацията Кардинални числа od домакинство. В рамките на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ....
силата на числото е същата като номера на мястото, където стои. В противен случай той вече е в последователността 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ....
Броят на комплектите с единичен елемент е на второ място, броят на комплектите с два елемента е на трето и т.н. Трябва да обясним защо, например, не номерираме местата на спортистите в състезанията от нулата. След това победителят на първо място ще получи сребърен медал (златото отиде при победителя с нулево място) и т. н. Донякъде подобна процедура се използва във футбола - не знам дали Читателите знаят, че "първа лига" означава " следвайки най-добрите." “, а нулевата лига се нарича да стане „висша лига“.
Понякога чуваме аргумента, че трябва да започнем от нулата, защото е удобно за IT хората. Продължавайки тези разсъждения, дефиницията на километър трябва да бъде променена - той трябва да бъде 1024 m, защото това е броят байтове в килобайт (ще се позова на шегата, известна на компютърните учени: „Каква е разликата между първокурсник и студент по компютърни науки и петокурсник на този факултет? че килобайтът е 1000 килобайта, последното - че километърът е 1024 метра")!
Друга гледна точка, която вече трябва да се приема сериозно, е следната: ние винаги измерваме от нулата! Достатъчно е да погледнете всяка скала на линийката, на битовата везна, дори и на часовника. Тъй като измерваме от нула, а броенето може да се разбира като измерване с безразмерна единица, тогава трябва да броим от нула.
Това е прост въпрос, но...
Да оставим общите разсъждения и да се върнем към делението на нула. Въпросът е прост и би бил прост, ако не беше ... и какво от това? Нека помислим и опитаме. Колко може да бъде - едно делено на нула? Да видим: 1/0 = х. Умножете двете страни по знаменателя на лявата страна.
Получаваме 1=0. Нещо не е наред! Какво стана? Ах познайте! Предположението, че има коефициент на единица и нула, води до противоречие. И ако едно не може да бъде разделено на нула, то друго число може. Ако, Читателю, свиеш рамене и се чудиш защо авторът (тоест аз) пише за такива банални думи, тогава... много се радвам!
Формулата 0/0 = 0 може да се защитава упорито, но тя противоречи на правилото, че резултатът от разделянето на число на себе си е равен на единица. Абсолютно, но доста различни са такива символи като 0/0, °/° и други подобни в смятането. Те не означават никакво число, а са символични обозначения за определени поредици от определени типове.
В една книга по електротехника намерих интересно сравнение: деленето на нула е също толкова опасно, колкото и електричеството с високо напрежение. Това е нормално: Законът на Ом гласи, че съотношението на напрежението към съпротивлението е равно на тока: V = U / R. Ако съпротивлението беше нула, теоретично безкраен ток би протекъл през проводника, изгаряйки всички възможни проводници.
Веднъж написах стихотворение за опасностите от деленето на нула за всеки ден от седмицата. Спомням си, че най-драматичният ден беше четвъртък, но е жалко за цялата ми работа в тази област.
Когато разделите нещо на нула
Много рано в понеделник
Седмица това, което току-що се случи
Вече се провалихте ужасно.
Когато във вторник следобед
Слагаш нула в знаменателя
Тогава ще ти кажа, че грешиш
Лош математик!
Когато през нула, чрез перверзия,
Искам да се разделим в сряда
Ще си навлечеш много неприятности
Имаш сено и вода в главата си!
С нас беше някакъв Бартек.
Той беше в противоречие с правилата.
В четвъртък се дели на нула.
Той вече не е между нас!
Ако те обземе странно желание
Разделете на нула в петък
Ще бъда честен, ще бъда честен:
Лошо начало на този уикенд.
Когато е нула, някъде в събота
Разделителят ще бъде ваш (не удебелен)
Коленичи под оградата на църквата.
Това е вашето възкресение.
Искаш ли нула под таблото,
Направете си празник в неделя
Донесете тебешир, черна дъска.
Напишете: не се дели на нула!
Нулата се свързва с празнотата и нищото. Всъщност той стигна до математиката като величина, която, когато се добави към която и да е, не я променя: x + 0 = x. Но сега нулата се появява в няколко други стойности, най-вече като начало на мащаба. Ако извън прозореца няма нито положителна температура, нито слана, тогава ... това е нула, което не означава, че изобщо няма температура. Паметник от нулев клас не е този, който е съборен отдавна и просто не съществува. Напротив, това е нещо като Вавел, Айфеловата кула и Статуята на свободата.
Е, значението на нулата в позиционната система трудно може да бъде надценено. Знаеш ли, Читателю, колко нули има Бил Гейтс в банковата си сметка? Не знам, но бих искал половината. Очевидно Наполеон Бонапарт е забелязал, че хората са като нули: те придобиват смисъл чрез позиция. Във филма на Анджей Вайда As the Years, As the Days, страстният художник Йежи избухва: „Филистерът е нула, nihil, нищо, нищо, nihil, нула“. Но нулата може да бъде добра: „нулево отклонение от нормата“ означава, че всичко върви добре и продължавайте така!
Да се върнем на математиката. Нула може да се добавя, изважда и умножава безнаказано. „Качих нула килограма“, казва Маня на Аня. „И това е интересно, защото отслабнах със същото тегло“, отговаря Аня. Така че нека изядем шест нула порции сладолед шест пъти, няма да ни навреди.
Не можем да разделим на нула, но можем да разделим на нула. Чиния с нулеви кнедли може лесно да се раздаде на тези, които чакат храна. Колко ще получи всеки?
Нулата не е положителна или отрицателна. Това и числото неположителени неотрицателен. То удовлетворява неравенствата x≥0 и x≤0. Противоречието "нещо положително" не е "нещо отрицателно", а "нещо отрицателно или равно на нула". Математиците, противно на правилата на езика, винаги ще казват, че нещо е „равно на нула“, а не „нула“. За да оправдаем тази практика, имаме: ако четем формулата x = 0 "x е равно на нула", тогава x = 1 четем "x е равно на едно", което може да бъде погълнато, но какво да кажем за "x = 1534267" ? Също така не можете да присвоите цифрова стойност на знака 00нито да повиши нула до отрицателна степен. От друга страна, можете да рутирате нула по желание... и резултатът винаги ще бъде нула.
Експоненциална функция y = ax, положителната основа на a, никога не става нула. От това следва, че няма нулев логаритъм. Всъщност логаритъмът на a спрямо основата b е степента, до която основата трябва да се повдигне, за да се получи логаритъмът на a. За a = 0 такъв индикатор няма и нулата не може да бъде основата на логаритъма. Нулата в "знаменателя" на символа на Нютон обаче е нещо друго. Предполагаме, че тези конвенции не водят до противоречие.
фалшиви доказателства
Делението на нула е често срещана тема за фалшиви доказателства и се случва дори на опитни математици. Нека ви дам два от любимите ми примера. Първият е алгебричен. Ще "докажа", че всички числа са равни. Да предположим, че има две числа, които не са равни. Следователно едно от тях е по-голямо от другото, нека a > b. Да приемем, че c е тяхната разлика
c \uXNUMXd a - b. Така че имаме a - b = c, откъдето a = b + c.
Умножаваме двете части на последната по a - b:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Превеждам ak от лявата страна, разбира се, помня за смяната на знака:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Изключвам общи фактори:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Споделям и имам каквото исках:
a = b.
И всъщност още по-странно, защото предположих, че a > b, и получих, че a = b. Ако в примера по-горе "измамата" е лесна за разпознаване, то в геометричното доказателство по-долу не е толкова лесно. Ще докажа, че ... трапецът не съществува. Фигурата, която обикновено се нарича трапец, не съществува.
Но да предположим първо, че има такова нещо като трапец (ABCD на фигурата по-долу). Има две успоредни страни („основи“). Нека разтегнем тези основи, както е показано на снимката, така че да получим паралелограм. Неговите диагонали разделят другия диагонал на трапеца на сегменти, чиито дължини са обозначени с x, y, z, както в фигура 1. От сходството на съответните триъгълници получаваме пропорциите:
където дефинираме:
Сега
където дефинираме:
Извадете страните на равенството, отбелязани със звездички:
Съкращавайки двете страни с x − z, получаваме – a/b = 1, което означава, че a + b = 0. Но числата a, b са дължините на основите на трапеца. Ако сборът им е нула, те също са нула. Това означава, че фигура като трапец не може да съществува! И тъй като правоъгълниците, ромбовете и квадратите също са трапецовидни, тогава, скъпи читателю, също няма ромби, правоъгълници и квадрати ...
Познай Познай
Споделянето на информация е най-интересната и предизвикателна от четирите основни дейности. Тук за първи път се сблъскваме с толкова често срещано явление в зряла възраст: „познайте отговора и след това проверете дали сте познали правилно“. Това е много уместно изразено от Даниел К. Денет (“Как да правим грешки?”, в How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Варшава, 1997):
Този метод на „отгатване“ не пречи на нашия възрастен живот – може би защото го научаваме рано и гадането не е трудно. Идеологически същото явление се среща например при математическата (пълна) индукция. На същото място ние „отгатваме“ формулата и след това проверяваме дали нашето предположение е правилно. Студентите винаги питат: „Как разбрахме модела? Как може да бъде извадено?" Когато студентите ми задават този въпрос, аз превръщам въпроса им в шега: „Знам това, защото съм професионалист, защото ми се плаща да знам“. На учениците в училище може да се отговори в същия стил, само че по-сериозно.
упражнение. Обърнете внимание, че започваме събирането и писменото умножение с най-ниската единица, а деленето с най-високата.
Комбинация от две идеи
Учителите по математика винаги са изтъквали, че това, което наричаме разделяне на възрастни, е обединението на две концептуално различни идеи: жилище i разделяне.
Първият (жилище) се среща в задачи, при които архетипът е:
Разделяй-разделяй Това са задачи като:
? (Запазваме оригиналния стил на този проблем, взет от наръчника на Юлиан Згозалевич, публикуван в Краков през 1892 г. - злотата е рейнската злота, валутата, която е била в обращение в Австро-Унгарската империя до началото на XNUMX век).
Сега разгледайте два проблема с най-старият учебник по математика на полски език, баща Томаш Клос (1538). Дивизия ли е или купе? Решете го по начина, по който учениците през XNUMX век трябва:
(Превод от полски на полски: В една бъчва има литър и четири гърнета. Един гърне е четири литра. Някой е купил 20 бъчви вино за 50 злоти за търговия. Митото и данъкът (акциз?) ще бъдат 8 злоти. Колко да продадете литър, за да спечелите 8 злоти?)
Спорт, физика, конгруентност
Понякога в спорта трябва да разделиш нещо на нула (коефициент на цели). Е, съдиите по някакъв начин се справят с това. Но в абстрактната алгебра те са на дневен ред. ненулеви количествачийто квадрат е нула. Дори може да се обясни просто.
Да разгледаме функция F, която свързва точка (y, 0) с точка в равнината (x, y). Какво е Ф2, тоест двойно изпълнение на F? Нулева функция - всяка точка има изображение (0,0).
И накрая, ненулеви количества, чийто квадрат е 0, са почти ежедневен хляб за физиците, а числата от вида a + bε, където ε ≠ 0, но ε2 = 0, наричат математиците двойни числа. Те се срещат в математическия анализ и в диференциалната геометрия.
В крайна сметка има нещо в аритметиката, което има деление на нула поне в името. Идва от съгласуваност. Нека Z означава множеството от цели числа. Разделянето на множеството Z на p означава, че приравняваме всяко число (цяло число) на някои други, а именно на тези, на които се дели тяхната разлика. И така, когато имаме пет вида числа, съответстващи на числата 0, 1, 2, 3, 4 - възможните остатъци при разделяне на 5. Формулата се записва така:
мод, когато разликата е кратна.
За = 2 имаме само две числа: 0 и 1. Разделянето на цели числа на два такива класа е еквивалентно на разделянето им на четни и нечетни. Нека го заменим сега. Разликата винаги се дели на 1 (всяко цяло число се дели на 1). Възможно ли е да се вземе =0? Нека опитаме: кога разликата на две числа е кратна на нула? Само когато тези две числа са равни. Така че разделянето на набор от цели числа на нула има смисъл, но не е интересно: нищо не се случва. Трябва обаче да се подчертае, че това не е деление на числата в смисъла, познат от началното училище.
Такива действия са просто забранени, както и дългата и широка математика.
Ориз. 2. Идентификация на числата чрез сравнение
(режим 5 и режим 2)
