Коронавирус и математическо образование – Частично подредени сборници

Вирусът, който ни удари, води до бърза образователна реформа. особено на по-високите нива на образование. По тази тема можете да напишете по-дълго есе, със сигурност ще има поток от докторски дисертации по методологията на дистанционното обучение. От известна гледна точка това е връщане към корените и към забравените навици на самообучение. Така беше например в Кременецката гимназия (в Кременец, сега в Украйна, която съществува през 1805-31 г., вегетира до 1914 г. и преживява своя разцвет през 1922-1939 г.). Там учениците се обучаваха сами – едва след като се научеха, идваха учителите с корекции, последни уточнения, помощ на трудни места и т.н. д. Когато станах студент, казаха също, че трябва сами да придобиваме знания, че само поръчваме и изпращаме часове в университета. Но тогава това беше само теория...

През пролетта на 2020 г. не съм единственият, който откри, че уроци (включително лекции, упражнения и т.н.) могат да се провеждат много ефективно дистанционно (Google Meet, Microsoft Teams и др.), с цената на много работа от страна на учителя и просто желание "да се образова" от друга страна; но и с малко удобство: седя вкъщи, в креслото си, а на традиционните лекции студентите също често правеха нещо друго. Ефектът от такова обучение може да бъде дори по-добър, отколкото при традиционната, датираща от Средновековието, система клас-уроци. Какво ще остане от него, когато вирусът отиде по дяволите? Мисля... доста. Но ще видим.

Днес ще говоря за частично подредени комплекти. Просто е. Тъй като бинарна релация в непразен набор X се нарича връзка с частичен ред, когато съществува

(Тадеуш Котарбински, 1886-1981, философ,

Президент на Полската академия на науките през 1957–1962 г.).

Рефлексивен, т.е. за всяко ∈ има ",
Минувач, т.е. ако ", и ", тогава ",
Полуасиметричен, т.е. („∧“)→ =

Низът е набор със следното свойство: за всеки два елемента това множество е или "или y". Антиверигата е...

Спри, спри! Може ли да се разбере нещо от това? Разбира се, че е. Но някой от Читателите (които знаят друго) вече е разбрал какво има тук?

Не мисля! И това е канонът на преподаването на математика. Също и в училище. Първо, прилична, строга дефиниция, а след това тези, които не са заспали от скука, определено ще разберат нещо. Този метод е наложен от "великите" учители по математика. Той трябва да бъде внимателен и строг. Вярно е, че така трябва да бъде в крайна сметка. Математиката трябва да е точна наука (Вижте също: ).

Трябва да призная, че в университета, в който работя, след като се пенсионирах от Варшавския университет, аз също преподавах толкова години. Само в него беше прословутата кофа със студена вода (нека си остане така: имаше нужда от кофа!). Изведнъж високата абстракция стана лека и приятна. Задайте внимание: лесно не означава лесно. На лайтбоксьора също му е трудно.

Усмихвам се на спомените си. Преподавах основите на математиката от тогавашния декан на катедрата, първокласен математик, току-що пристигнал от дълъг престой в Съединените щати, което по това време беше нещо изключително само по себе си. Мисля, че беше малко снобска, когато забрави малко полски. Тя злоупотребява със старото полско „какво“, „следователно“, „азалия“ и въвежда термина: „полуасиметрична връзка“. Обичам да го използвам, наистина е точен. Харесвам. Но аз не изисквам това от учениците. Това обикновено се нарича "ниска антисиметрия". Десет красиви.

Много отдавна, защото през седемдесетте (на миналия век) имаше голяма, радостна реформа на преподаването на математика. Това съвпадна с началото на краткия период от управлението на Едуард Герек - известно отваряне на страната ни към света. „Децата могат да бъдат обучавани и на висша математика“, възкликнаха Великите учители. За деца е съставено резюме на университетската лекция "Основи на математиката". Това беше тенденция не само в Полша, но и в цяла Европа. Решаването на уравнението не беше достатъчно, трябваше да се обясни всеки детайл. За да не бъдем голословни, всеки от Читателите може да реши системата от уравнения:

но учениците трябваше да обосноват всяка стъпка, да се позовават на съответните твърдения и т.н. Това беше класическо превишаване на формата над съдържанието. Сега ми е лесно да критикувам. И аз някога бях привърженик на този подход. Вълнуващо е... за младите хора, които са запалени по математика. Това, разбира се, беше (и в името на вниманието, аз).

Но стига отклонение, да се заемем с работата: лекция, която „теоретично“ беше предназначена за второкласниците на Политехниката и щеше да е суха като кокосови стърготини, ако не беше тя. малко преувеличавам...

Добро утро за вас. Днешната тема е частично почистване. Не, това не е намек за небрежно почистване. Най-доброто сравнение би било да прецените кое е по-добро: доматена супа или сметанова торта. Отговорът е ясен: в зависимост от какво. За десерт - бисквитки, а за питателно ястие: супа.

В математиката се занимаваме с числа. Те са подредени: те са по-големи и по-малко, но от две различни числа, едното винаги е по-малко, което означава, че другото е по-голямо. Те са подредени по ред, като буквите в азбуката. В дневника на класа редът може да бъде както следва: Адамчик, Багинская, Хойницки, Дерковски, Елгет, Филипов, Гжечник, Холницки (те са приятели и съученици от моя клас!). Ние също не се съмняваме, че Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. Символът за "двойно неравенство" има значението "преди".

В моя туристически клуб се опитваме да направим списъците по азбучен ред, но по име, например, Алина Вронска "Варвара Качарска", Цезар Бушиц и др. В официалните записи редът ще бъде обратен. Математиците наричат азбучния ред лексикографски (лексиконът е повече или по-малко като речник). От друга страна, такъв ред, в който в име, състоящо се от две части (Михал Шурек, Алина Вронска, Станислав Смажински) първо разглеждаме втората част, е антилексикографска поръчка за математиците. Дълги заглавия, но много просто съдържание.

1. Линеен ред: гари и спирки на жп линията Хабовка-Закопане от Подхале, построена през 1899 г. (оставям декодирането на съкращенията на читателя).

Всички такива поръчки се наричат линейни поръчки. Поръчваме на свой ред: първо, второ, трето. Всичко е наред, от първата точка до последната. Не винаги има смисъл. В крайна сметка ние подреждаме книгите в библиотеката не така, а в секции. Само вътре в отдела подреждаме линейно (обикновено по азбучен ред).

2. Линеен ред: при стартиране на двигателя на автомобила извършваме действия в последователен ред.

При по-големи проекти, особено в екипната работа, вече нямаме линеен ред. Нека да разгледаме фиг. 3. Искаме да построим малък хотел. Вече имаме пари (клетка 0). Изготвяме разрешителни, събираме материали, започваме строителство и в същото време провеждаме рекламна кампания, търсим служители и т.н., и така нататък. Когато стигнем до "10", първите гости могат да се настанят (пример от историите на г-н Домбровски и техния малък хотел в предградията на Краков). Ние имаме нелинеен ред – някои неща могат да се случват паралелно.

В икономиката ще научите за концепцията за критичния път. Това е набор от действия, които трябва да бъдат извършени последователно (и това се нарича верига в математиката, повече за това след малко) и които отнемат най-много време. Намаляването на времето за строителство е реорганизация на критичния път. Но повече за това в други лекции (напомням ви, че чета „университетска лекция“). Ние се фокусираме върху математиката.

Диаграми като фигура 3 се наричат диаграми на Хасе (Хелмут Хасе, немски математик, 1898–1979). Всяко сложно усилие трябва да бъде планирано по този начин. Виждаме последователности от действия: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Математиците ги наричат струни. Цялата идея се състои от четири вериги. Обратно, групите на активност 1-2-3-4, 5-6-7 и 8-9 са антивериги. Ето как се казват. Факт е, че в определена група нито едно от действията не зависи от предишното.

4. Това също е диаграма на Хасе.

Хайде да отидем до фигура 4. Какво е впечатляващо? Но може да е карта на метрото в някой град! Подземните железници винаги са групирани в линии - те не преминават от една в друга. Линиите са отделни линии. В град фиг. 4 е фурна линия (запомнете това фурна пише "boldem" - на полски се нарича полудебел).

На тази диаграма (фиг. 4) има къс жълт ABF, ACFPS с шест станции, зелен ADGL, син DGMRT и най-дългият червен. Математикът ще каже: тази диаграма на Хасе има фурна вериги. На червената линия е седем станция: AEINRUW. Ами антивериги? Има ги седем. Читателят вече забеляза, че два пъти подчертах думата седем.

Антиверига това е такъв набор от станции, че е невъзможно да стигнете от една от тях до друга без прекачване. Когато "разберем" малко, ще видим следните антивериги: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, SR. Моля, проверете, например, не е възможно да пътувате от някоя от станциите BCLTV до друга BCTLV без трансфер, по-точно: без да се налага да се връщате до станцията, показана по-долу. Колко антивериги има? седем. Какъв размер е най-големият? Печете (отново с удебелен шрифт).

Можете да си представите, студенти, че съвпадението на тези числа не е случайно. Това. Това е открито и доказано (т.е. винаги така) през 1950 г. от Робърт Палмър Дилуърт (1914–1993, американски математик). Броят на редовете, необходими за покриване на целия набор, е равен на размера на най-голямата антиверига и обратно: броят на антиверигата е равен на дължината на най-дългата антиверига. Това винаги е така при частично подреден набор, т.е. такъв, който може да се визуализира. Диаграма на Хасего. Това не е съвсем строго и правилно определение. Това е, което математиците наричат "работна дефиниция". Това е малко по-различно от "работната дефиниция". Това е намек за това как да разберете частично подредените множества. Това е важна част от всяко обучение: вижте как работи.

Английската абревиатура е - тази дума звучи красиво на славянски езици, малко като бодил. Имайте предвид, че бодилът също е разклонен.

Много хубаво, но кому е нужно? Вие, скъпи студенти, имате нужда от него, за да издържите изпита и това вероятно е достатъчно добра причина да го изучавате. Слушам, какви въпроси? Слушам, господин изпод прозореца. О, въпросът е дали това някога ще бъде полезно на Господ в живота ви? Може би не, но за някой по-умен от вас, със сигурност... Може би за анализ на критичния път в сложен икономически проект?

Пиша този текст в средата на юни, във Варшавския университет текат избори за ректор. Прочетох няколко коментара от интернет потребители. Има изненадващо количество омраза (или „омраза“) към „образованите хора“. Някой направо писа, че хората с висше образование знаят по-малко от тези с висше образование. Разбира се, няма да влизам в дискусията. Тъжно ми е само, че в Полската народна република се връща утвърденото мнение, че всичко става с чук и длето. Връщам се към математиката.

Теорема на Дилуърт има няколко интересни приложения. Една от тях е известна като теоремата за брака.фиг. 6).

Има група жени (по-скоро момичета) и малко по-голяма група мъже. Всяко момиче си мисли нещо подобно: „Мога да се омъжа за този, за друг, но никога в живота си за трети“. И така нататък, всеки има своите предпочитания. Начертаваме диаграма, водеща към всеки от тях по една стрела от човека, когото той не отхвърля като кандидат за олтара. В: Могат ли двойките да бъдат съчетани, така че всяка да намери съпруг, който приема?

Теорема на Филип Хол, казва, че това може да стане - при определени условия, които няма да обсъждам тук (тогава на следващата лекция, студенти, моля). Имайте предвид обаче, че тук изобщо не се споменава мъжкото удовлетворение. Както знаете, жените са тези, които ни избират, а не обратното, както ни се струва (напомням, че съм автор, а не автор).

Малко сериозна математика. Как теоремата на Хол следва от Дилуърт? Много е просто. Нека погледнем отново фигура 6. Веригите там са много къси: имат дължина 2 (въртящи се в посока). Набор от човечета е анти-верига (именно защото стрелките са само към). Така можете да покриете цялата колекция с толкова анти-вериги, колкото са мъжете. Така всяка жена ще има стрела. А това означава, че тя може да изглежда като момчето, което приема!!!

Чакай, пита някой, това ли е всичко? Всичко ли е приложение? Хормоните някак ще се оправят и защо математика? Първо, това не е цялото приложение, а само едно от голяма серия. Нека разгледаме един от тях. Нека (фиг. 6) означава не представители на по-добрия пол, а по-скоро прозаични купувачи и това са марки, например автомобили, перални, продукти за отслабване, предложения на туристически агенции и др. Всеки купувач има марки, които приема и отхвърля. Може ли да се направи нещо, за да се продаде по нещо на всички и как? Тук свършват не само шегите, но и знанията на автора на статията по тази тема. Знам само, че анализът се базира на доста сложна математика.

Преподаването на математика в училище е преподаване на алгоритми. Това е важна част от ученето. Но бавно вървим към изучаване не толкова на математика, колкото на математическия метод. Днешната лекция беше точно за това: говорим за абстрактни ментални конструкции, мислим за ежедневието. Става дума за вериги и антивериги в множества с обратни, транзитивни и други отношения, които използваме в моделите продавач-купувач. Компютърът ще направи всички изчисления вместо нас. Той все още няма да създава математически модели. Все пак печелим с нашето мислене. Както и да е, надявам се възможно най-дълго!