Как да излъжеш, манипулираш и да се представиш в благоприятна светлина във величието на математиката?

В началото на ноември 2020 г. Матеуш Моравецки се позова на математиците от Центъра за математическо моделиране, че те показват, че женската стачка е причинила увеличение на инфекциите с 5000. Имам приятели в този център - те научиха само, че са предсказали това от изказване на г-н - към Матеуш.

Искам да подчертая, че може би противно на заглавието на статията, няма да хваля, нито да критикувам настоящия премиер. мисля, че математика не е неговата силна страна, но подобен интелектуален дефицит няма да предизвика възражения от повечето от вас. И изобщо, няма ли един велик математик да е на отговорен пост, но не и мъдър в живота и политиката? Ще спомена също, че Доналд Туск в предишната си президентска кампания каза (сякаш на шега): „не можете да пишете изпити по математика, без да изтегляте“. Знаеш ли, математическият облак е твоят човек, точно като мен. Джулиан Тувим беше снобски настроен относно невежеството си по математика. И ме извикаха на дъската. Само ще отбележа, че имахме премиера по математика в Полша. Това беше (пет пъти) Казимеж Бартел, 1882-1941, ректор на Лвовската политехника, отличен геометрич. Не мога и не се опитвам да съдя за управлението му.

Избърсването на устата е многостранно и старо. За това са написани книги, тънки и дебели. Има много начини, ще говоря за някои, ще започна с тези, които са зашити с дебели конци. Може би в миналото е имало дори повече такива методи, защото в монументалния и първи по рода си Речник на полския език Самуел Богумил Линде (публикуван през 1807-1814 г.) четем:

математик, математически математик, математически жонгльор.

Ние не познаваме най-простите действия и наистина искаме да се докажем. Преди няколко години журналист от Олщин написа дълга разобличителна статия за това как производителите ни мамят. Например: на опаковка масло пише „масленост 85 процента“ - 85 процента на кубче ли е или на килограм? Цяла Полша изчурулика. Но само умните учители по математика (т.е. всички учители по математика!) забелязаха грешка в разсъжденията на един от нашите бивши премиери Казимир Марцинкевич преди много години. Ще променя малко номерата, за да се види по-лесно. Той каза нещо подобно: похарчихме 150 милиона злоти за пътно строителство и получихме 50 милиона от Брюксел, така че ще похарчим само 100. Спестихме 50 процента. Е, 50/100 е 50 процента. Къде е грешката? И ако имахме 100 милиона, колко щяхме да спестим? Грешката е фина. Говорейки за проценти, важно е да изясним откъде ги вземаме. Това е много често срещана грешка на учителите. Казват, че процентът е една стотна. Това не е позволено! Сто процента, но винаги е нещо. Ако похарчим 150 и похарчим 100, спестяваме 50 от 150, което е 33%. Премиерът Марцинкевич беше учител по физика. Или беше толкова лош учител, че не разбираше проценти, или умишлено ги манипулираше, за да получи най-добър политически ефект. Всъщност бих предпочел второто. Нека ви припомня един много стар анекдот отпреди войната. „Татко, днес спестих 20 цента!“ „Много е хубаво, синко! как? „Не се возих на трамвая до училище, тичах след него!“ „Ах, синко, бягай втори път за такси - ще спестиш 5 злоти!“

Идеи, идеи! Повечето от идеите на така нареченото творческо счетоводство се основават на правни вратички (закон, написан на коляното = глупости) и се отклоняват от представата за средното. Ето един пример: как може да се вдигнат заплатите на всички, като се намали средната заплата? Просто: дайте малко повишение на тези, които вече работят, и по този начин наемете много нископлатени хора. Средната стойност ще падне... и в контекста на глобалната маса за заплати, това не можеше да става. Твърди се, че до 1989 г. определен директор на държавно предприятие се държеше по този начин.

Можете да се борите директно, като използвате математическата неграмотност на много кръгове от обществото и комбинирайки математиката (??) с литературата (??). Ето един демагогичен, но измислен текст (макар и базиран на реална публикация, преди 2010 г. за внимание).

На медицинските сестри ще им е по-добре. Преди две години средната нетна заплата на медицинска сестра в окръг Сохачев беше 1500 PLN. Миналата година правителството увеличи разходите за здравеопазване с половин милиард злоти. Това ще бъде два пъти повече от предходните години. Херменегилда Коцюбинская, медицинска сестра в Централната клинична болница, казва: миналия месец заплатата ми беше 4500 PLN. Това означава огромно, трикратно увеличение на приходите от здравеопазване.

Има ли кой да заблуди? Дори и числата да са еднакви, можете да видите какво сравняваме тук. средна работна заплата в провинциалната болница със заплатата на един човек за даден месец. Може би Херменегилда е началник на медицинските сестри, може би е имала много допълнителни смени този месец, а освен това в CRH има специална скала за заплати? Освен това споменатите 1500 500 500 PLN са нетни заплати и не е посочено дали заплатата на г-жа Коцюбинска е нетна или брутна. Половин милиард е огромна сума за индивид, но какво означава това на национално ниво? Веднага отбелязваме, че „половин милиард“ звучи по-добра пропаганда от „500 милиона“. За какво са отишли XNUMX милиона злоти, не се съобщава. Не е известно защо XNUMX милиона злоти два пъти повече.

Как мога да подобря резултатите си от обучението? Училище X е критикувано от образователните власти за лоши образователни резултати (т.е. нисък среден успех, въпреки че това са различни неща!). Директорът намира начин да направи нещата малко по-добри. Той прехвърля няколко ученици от клас А в клас Б и постига целта си: средният резултат и в двата класа се е увеличил.

Как е възможно? Ако има ученик в клас A, чийто среден успех е по-нисък от средния в клас A, но по-висок от средния в клас C, тогава преместването му в клас B ще има същия ефект. Вярата се основава на този ефект Мечислав чума i Лешек Мазан, авторите на „Галицианска енциклопедия” (издателство „Анабазис”, Краков), че в деня, когато Сигизмунд III Ваза и неговият двор се преместват във Варшава, средното ниво на интелигентност се повишава и в двата града.

Ние сме склонни да интерпретираме данни. Това е най-често срещаното неелементарно разтягане. Ще започна с най-глупавия, но надежден пример. Преди много, много години вече несъществуващият Express Wieczorny съобщи, че средната заплата във Варшавския университет ще бъде 15000 24 6 злоти (тогава злоти). Ректорът трябваше да получава най-високата заплата, 15, най-ниската начинаещ асистент, XNUMX. Средно XNUMX!!! манипулация концепцията за средното е тема за хабилитация.

Ето още два примера. Знаете ли, че средният човек в Полша има по-малко от два крака? Е, да: има такива, които имат един, но никой няма три! Вторият пример е по-фин. Е, жена ми и аз имаме собствени коли. Моят превозвач харчи много гориво, 12,5 литра на 100 км. Това означава, че за 100 км ми трябват 8 литра. Жена ми има мъничко Мицубиши - харчи 8 литра на 100 км. Това също е много, но за да бъдат изчисленията прости, данните трябва да бъдат обработени малко. Често се возим на една и съща. Следователно средният разход на гориво на нашите две коли е средно аритметично 8 и 12,5. Добавете, разделете на 2. Получава се 10,25 литра. Разбира се, важно е често да караме по един и същ начин. И така, къде е полето за манипулация?

О, тук. Знаете ли, че разходът на гориво в САЩ се изчислява по различен начин? Те ще отговорят: "Карам толкова мили от един галон." Нека оставим преобразуването на галони в литри и мили в километри, но да го приложим към гореспоменатите автомобили: моята и единственият съвет за преглед на нашия брак. Ще карам само 8 км на литър (100 делено на 12,5), жена ми 12,5 км (100 делено на 8). Средно един литър ще ни вземе ... средноаритметичната стойност на тези цифри. Вече сме изчислили това веднъж. Оказва се 10 и четвърт - този път 10,25 километра.

Да се върнем към европейските стандарти. Ако карам 10,25 км с един литър, колко литра са ви необходими за 100? Нека вземем калкулатор: 100 делено на 10,25 е ... 9,76. Средният разход на нашите коли е 9,76 ... а преди това беше 10,25. Къде е грешката? Не! Всъщност не в математиката, а в тълкуването на думите „пътуваме еднакво често“. Внимателният анализ ще покаже, че в първата интерпретация това означава „изминаваме еднакъв брой километри на месец“, а във втората „използваме еднакво количество бензин“. Може да се добави трета променлива: ние прекарваме същото време в шофиране (съпругата кара много по-бързо)… и ще бъде различно. Ако измерваме нещо, трябва да имаме измервателна лента.

по-фини ситуации. Парадоксът на Симпсън. Проучваме кое е по-добре за премахване на пърхота: Coca-Cola или Pepsi-Cola. Тестваме върху жени и мъже. Ето данните. Почти всички изчисления могат да се правят в паметта.

Моля, читателю, седнете. Само да не изпадна от чувството. Коя е най-добрата напитка за премахване на пърхот при мъжете? Означих по-големите числа в червено, а по-малките в синьо. 25 е повече от 20, нали? Господа: купувайте кола за пърхот! Ами жените? Вероятно обратното? Не, 60> 53. Дами, пийте кола.

Компанията купува реклами по телевизията, където щастлива двойка (по старомоден начин: мъж и жена) се отървава от това леко страдание с помощта на Coca-Cola. Но има реклама на Pepsi. Ами защото имаше 250 души на теста и тук, и тук, което означава, че бяха разделени поравно. Coca-Cola помогна на 80 души (32%), Pepsi помогна на 100 души, 40%. На екрана тълпата хвърля пърхота си, докато кутия с пепси се търкаля пред камерата. "Нашето поколение вече избра!"

Къде е грешката? Не. Искам да кажа, че математиката е наред. Или по-скоро просто аритметика. За да бъдем математически правилни, трябва да вземем сравними проби със същата пропорция на M като K. В противен случай изчисленията нямат смисъл, сякаш изчисляваме средното тегло на комар и слон. Можем да събираме и разделяме на две. Какво сме изчислили? Е, средното тегло на комар и слон. Какво ще ни даде? Нишка.

Но нека го отнесем към политиката, към САЩ, разбира се. Поддръжниците на един от кандидатите, да речем Бъмп, биха плакали: ние сме по-добри и за дами, и за господа. Гласувайте за Йозеф Подскок! Поддръжниците на Triden биха написали на банери: Ние сме най-добрите в света. Гласувайте патица с 3 бърлога (Доналд).

Добре, как е наистина? Това е най-трудното. Какво означава "наистина"? Можем да кажем: „Вярно е това, което отговаря на реалността“. Възниква обаче друг въпрос: как да измерим "съответствието с реалността"? Но това вече не е математика и бих искал да се придържам към нея, защото само тук се чувствам уверен.

За този парадокс (нар Парадоксът на Симпсън) се основава на много, много други. Познат е в математиката от сто години, но (сравнително) наскоро социалните науки проявиха интерес към него. Всичко започна с факта, че в един от американските университети ректорът забеляза, че момичетата са приети много по-малко от момчетата. Поискала отчети от деканите... и се оказало, че във всеки факултет съотношението приети към кандидати е по-високо при момичетата, отколкото при момчетата - и точно обратното. Препоръчвам на читателя да преработи примера с Pepsi и Coca-Cola в ситуацията на университетските факултети.

Още по-фина ситуация. Всеки в математическия свят знае "примера на Небраска". Някъде в Небраска беше претърсен магазин и ограбен каса. Свидетели си спомнят само, че това е направено от странна двойка: мургав мъж с брада и жена с ориенталски черти. Тръгнаха (гумите скърцат като на филма) с жълта Тойота. Няколко часа по-късно полицията задържа ... жълта Тойота, в която е бил афроамериканец с брада, придружаван от азиатка. "Ти си!". Белезници, съд. Опитен математик изчисли, че такъв комплект (негър + азиатец + жълта Тойота) е толкова уникален, че 99,999% от обирджиите се издирват. Хвърли наизустени термини в залата: елементарни събития, диаграма на Бернули, конюнкция. Двойката отиде да седне. Наеха обаче най-добрия математик, който каза в апел: „Добре. Съдете сами, моят предшественик изчисли, че вероятността случайно срещната кола с двама пътници да бъде жълта Тойота с черна и японка е такава и такава. Но тук трябва да решим друг проблем, условната вероятност. Каква е вероятността да срещнем друга двойка (или три, ако включите машината), ако знаем, че такава вече съществува. »

Не знаем дали съдията е разбрал някой от аргументите. Може би само отговорът зависи от избора на ситуацията. Това беше достатъчно. Той отмени присъдата.

Удар в главата с прът. Винаги сме се отнасяли към такава демагогия (1).

Баровете са ужасни: цените на въглищата се удвоиха. Погледът към числата е успокояващ: те наистина са се повишили от 161 PLN за тон на 169 PLN (упражнение: с какъв процент?). Но тъй като повечето хора се учат визуално, те ще запомнят графиката, а не числата. Без да навлизам в политически дискусии, трябва да кажа, че подобен метод беше използван от правителството (този от лятото на 2020 г.), представяйки си увеличение на разходите за рак. Това не е критика към това правителство. Следващият също ще използва този метод. Той е безопасен и дава незабавен ефект („виждан“).

Да носим маски. Законите за разпространение на епидемиите са прости и "сами по себе си" неумолими. Броят на заразените расте толкова по-бързо, колкото повече са вече. Така върви лавината. Това казва математиката. Има обаче едно голямо „но“ – може би повече от едно. Първо, това е така, докато "нищо не се случва". Когато лавината в гората бъде спряна, когато епидемията бъде забавена от мъдрото поведение на всички ни, тогава няма да „благодарим“ толкова на математиката, колкото да създадем различен модел. Да, различен математически модел (както в примера с обира на магазин в Небраска). Математиката, красива наука, само помага да разберем света. Толкова много, но само толкова. Да видим: скачаме почти шест метра с прът, без него дори не можем да скочим 2,50. След това вземете пръта в ръка и скочете. Той е адски досаден, нали?

използването на математика в социалните науки това е трудно, опасно и още по-лошо, изкушаващо. Ценителите на Татрите го свързват с дерето Дреге: нежно, тревисто спускане от Гранатите до Черни став... Ето как изглежда отгоре. Скоро дерето се превръща в капан, от който може да ни спаси само ТОПР, доброволческата спасителна служба на Татра.

Математиците наричат това увеличение на лавините и епидемиите експоненциален растеж. Както вече писах, този растеж може да бъде потиснат, но не отново. Нека обаче да разгледаме два графика на една и съща крива (само в различен мащаб). Кой ще разбере, давам формулата на тази функция: y = 2^xдве на власт. Моля, погледнете графиките. От кой момент настъпва бързото ускоряване на растежа? Всеки ще посочи: повече или по-малко е близо до точката, отбелязана с голяма точка. Но на първата графика тази стойност е близка до 1,5, на втората е повече от 3, а на третата е 4,5. Ако има някакви улични демонстрации тогава, тогава можем да кажем: моля, от момента на демонстрацията кривата се повиши, тръгна рязко нагоре. В славата на математиката! И това е само свойство на експоненциалната крива. Съответната скала и точка, от която започва бързото ускорение, могат да се избират свободно (2).

Президентски избори... в САЩ, разбира се. Все още помним фарса от ноември 2020 г. Страната, която все още е сила номер 1, не се справи с броя на страниците. В крайна сметка се оказа, че Джо Байдън той не само спечели повече електорални гласове, но щеше да спечели, ако решението беше взето с обикновено мнозинство. В ситуацията, която ще опиша, няма никаква математическа манипулация - просто пример за това как резултатът от изборите може да зависи от приетата резолюция. Ако знаеш, трудно е да протестираш. Един защитник във футбола може да сметне забраната за игра с ръка за неправилна, но ако бъде пренебрегната, ще бъде отсъдена дузпа.

Представете си, че за президент на Гърция се кандидатират: Аполоний, Евклид, чапла, Питагор i Такъв. Този, който избирателите изберат, ще стане президент. Те са 100. Избрани са с народен вот, а след това парламентарно представените партии, тоест Цирк Максимус, определят реда на предпочитанията си. Нещо не е наред, защото Circus Maximus е латинско име, а не гръцко. Но да не спорим с източниците.

Кой ще стане президент? Нека видим как зависи от ръкополагането. Предпочитанията на партията трябва да се разбират така, че нейните избиратели да гласуват за първия човек от листата, останал на изборите след следващия тур.

Ако решението постановява, че печели кандидатът, който постави най-много гласоподаватели на първо място, Питагор ще спечели, защото той ще бъде избран от 25 + 9 = 34 избиратели. Така се случва в училище, когато избираме например най-добрия ученик. на наше място: Питагор е избран от народа!
При съвременните президентски избори най-често се използва системата на втори тур. Гласуваме за един кандидат, но ако нито един от тях не надхвърли 50 процента, се провежда втори тур. Победител е този, който спечели абсолютното мнозинство от гласовете, тоест просто повече гласове от своя опонент. При този сценарий Питагор (34 гласа) и Талес (20) ще отидат на втори тур. На втория тур избирателите разпределят гласовете си според предпочитанията си. Всички освен питагорейците предпочитат Талес пред Питагор. Това е често срещана ситуация, когато една партия има твърд електорат и е заобиколена от общо нежелание. Така че в продълженията Питагор няма да получи нито един глас. Резултат 66:34 в полза на Талес и решителна победа. Подобна ситуация се случи през 2001 г. в Словакия, където кандидат, който ясно спечели първия тур, загуби във втория. Подобно беше и на президентските избори в Полша през 2005 г.: лидерът беше победен във втория след първия тур. Да живеят президентските приказки!
В колоезденето се използва така наречената австралийска система. След всяка обиколка на пистата последната се елиминира. Тази версия на избирателния закон се нарича "избор на директори". По тази система е избран първият президент на независима Полша Габриел Нарутович. Как би изглеждало в нашата Гърция?

Въпросът е по-сложен. Моля, проследете. На първия тур Евклид събра най-малко гласове и отпадна (колко жалко, толкова добър математик!). След това партията гласува на втори тур за втория в листата си: Цапля. На втория тур Heron има 19 + 10 = 29 гласа. Аполоний е елиминиран (17 гласа). Парти и след това гласувайте за Heron. В третия тур Питагор (фиксиран електорат) има 34 гласа, Талес 20 и Херон 29 + 17 = 46 гласа. Историите излязоха. Фалезианците (партия Б) също не харесват питагорейците - те предпочитат глашатаите. Други също, с изключение на стабилните партии A и E. В последния ход Херон лесно побеждава Питагор с 66:34. Живей президент Херон!

4. На конкурса за песен на Евровизия бяха присъдени 12 точки за първо място в списъка, 10 за второ място, 9 за трето и т.н. Нека приемем приблизително същия резултат 6-4-3-2-1. Така точките бяха присъдени в три двубоя по лека атлетика (три отбора, по двама играчи във всяко състезание, през 1958 г. Полша спечели срещу САЩ и Великобритания!). Нашите резултати ще бъдат както следва:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

Гърци, ето го вашия президент Евклид!

5. Читателите се досещат, че трябва само да преброим гласовете, за да се окаже, че Аполоний е най-добрият. Наистина Аполоний е най-добрият – защото е най-добрият. Всички губят от Аполоний! Защо?

Защото колко избиратели поставиха Аполоний над Херон? Да изчислим: 25+17+9=51 означава мнозинство. Не много, но все пак.

Колко далеч е Аполоний пред Евклид? 20 + 19 + 17 = 56, повечето от тях.

Колко предпочитат Аполоний пред Талес: 19+17+10+9=55>50.

И накрая, Аполоний от Питагор предпочита 20 + 19 + 17 + 10 = 66 избиратели от 100.

Оттогава - гръцкият народ, способен да мисли логично - оттогава най-вече Аполоний предпочита всеки друг кандидат; все пак той трябва да ни управлява следващия мандат! Приближи се, Аполоний, нашият новоизбран президент! Вие ще бъдете нашите 44.