Разделете наполовина - триъгълници и квадрати

Новата година дойде при нас, 2019. Това не е просто число. Сборът от цифрите е 2 + 0 + 1 + 9 = 12, което означава, че числото се дели на 3. Едно просто число ще трябва да чака дълго време, до 2027 г. И все пак много малко читатели на този епизод ще доживеят в двадесет и втори век. Но те със сигурност са такива на този свят, особено нежния пол. Завиждам? Не наистина... Но трябва да пиша за математика. Напоследък все повече пиша за началното образование.

Може ли кръгът да бъде разделен на две равни половини? Определено. Какви са имената на частите, които ще получите? Да, половин кръг. При разделяне на кръг с една линия (един разрез), необходимо ли е да се начертае линия през центъра на кръга? да. Или може би не? Не забравяйте, че това е един разрез, една права линия.

Убеден ли си, че всички права линия, минаваща през центъра на окръжността, ги разделя на равни части? Убедени ли сте, че за да разделите кръга на равни части от една права линия, трябва да го начертаете през центъра?

Оправдайте вярата си. И какво значи "оправдай"? Математическото доказателство е различно от „доказателството“ в правния смисъл. Адвокатът трябва да убеди съдията и по този начин да принуди Върховния съд да установи, че клиентът е невинен. За мен винаги е било неприемливо: доколко съдбата на подсъдимия зависи от красноречието на „папагала“ (така малко пренебрежително характеризираме адвоката).

За математика само вярата не е достатъчна. Доказателството трябва да е формално, а тезата трябва да бъде последната формула в логическата последователност от предположението. Това е доста сложна концепция, която е почти невъзможно да се приложи в ежедневието.

Може би е по-добре така: съдебни дела и присъди, основани на „математическа логика“, биха били просто... бездушни. Явно това се случва все по-често. Но просто искам да о.

Дори официалното доказателство за прости неща може да предизвика трудности. Как да докажем и двете вярвания за разделянето на кръга? Колкото по-лесно е първо всяка права линия, минаваща през центъра, разделя кръга на две равни части.

Можем да кажем това: нека завъртим фигурата на фиг. 1 на 180 градуса. Тогава зелената кутия ще стане синя, а синята кутия ще стане зелена. Следователно те трябва да имат равни квадрати. Ако начертаете линия не през центъра, тогава едно от полетата ще бъде ясно по-малко.

Триъгълници и квадрати

Така че да продължим квадрат. Имаме ли същото като:

1. всяка права, минаваща през центъра на квадрата, го разделя на две равни части?
2. Ако права линия разделя квадрат на две равни части, трябва ли да минава през центъра на квадрата?

Сигурни ли сме в това? Ситуацията е различна от тази при колелото (2-7).

Хайде да отидем до равностранен триъгълник. Как го разрязвате наполовина? Лесно - просто отрежете горната част и перпендикулярно на основата (8).

Напомням, че основата на триъгълника може да бъде всяка от неговите страни, дори наклонените. Разрезът минава през центъра на триъгълника. Всяка права, минаваща през центъра на триъгълник, разделя ли го?

Не! Вижте фиг. 9. Всеки от цветните триъгълници има една и съща площ (защо?), така че горната част на големия триъгълник има четири, а долната - пет. Съотношението на полетата не е 1:1, а 4:5.

Ами ако разделим основата на, да речем, четири части и разделяме равностранен триъгълник изрязани през центъра и през точка в една четвърт от основата? Читателю, виждате ли, че на фигура 10 площта на "тюркоазения" триъгълник е 9/20 от площта на целия триъгълник? Ти не виждаш? Жалко, оставям на вас да решите.

Първи въпрос - обяснете как е: разделям основата на четири равни части, прекарвам права линия през точката на деление и центъра на триъгълника, а на срещуположната страна получавам странно деление, в съотношение 2:3? Защо? можеш ли да го изчислиш?

Или може би ти, Читателю, тази година си завършил гимназия? Ако да, тогава определете при каква позиция на редовете съотношението на полетата е минимално? Не знаеш? Не казвам, че трябва да го поправите веднага. Давам ти два часа.

Ако не го решиш, тогава... добре, успех с финалите все пак. Ще се върна към тази тема.

Събудете независимост

- Можеш ли да се изненадаш? Това е заглавието на книга, издадена преди много време от сп. Delta, математически, физически и астрономически месечник. Погледнете света около вас. Защо има реки с пясъчно дъно (в края на краищата водата трябва незабавно да се абсорбира!).

Защо облаците се носят във въздуха? Защо самолетът лети? (трябва да падне веднага). Защо понякога в планините по върховете е по-топло, отколкото в долините? Защо слънцето на север е по обяд в южното полукълбо? Защо сумата от квадратите на хипотенузата е равна на квадрата на хипотенузата? Защо изглежда, че тялото губи тегло, когато е потопено във вода, след като измества водата?

Въпроси, въпроси, въпроси. Не всички от тях са незабавно приложими в ежедневието, но рано или късно ще бъдат. Осъзнавате ли важността на последния въпрос (за водата, изместена от потопено тяло)? Разбрал това, възрастният господин хукнал гол из града и крещял: „Еврика, намерих го!“ Той не само открива физическия закон, но и доказва, че бижутерът на крал Херон е фалшификатор!!! Вижте подробности в дълбините на интернет.

Сега нека разгледаме други форми.

Шестоъгълник (11-14). Всяка права, минаваща през центъра му, разполовява ли го? Трябва ли линията, която разделя шестоъгълника, да минава през центъра му?

Какво относно петоъгълник (15, 16)? осмоъгълник (17)? И за елипси (18)?

Един от недостатъците на училищната наука е, че преподаваме „в деветнадесети век“ – даваме на учениците проблем и очакваме те да го решат. Какво лошо има в това? Нищо - с изключение на това, че след няколко години нашият ученик ще трябва не само да отговаря на команди, които е „получил“ от някого, но и да вижда проблеми, да формулира задачи, да се движи в област, до която все още никой не е стигнал.

Толкова съм стар, че мечтая за такава стабилност: „Учи, Джон, прави обувки и ще работиш като обущар до края на живота си“. Образованието като преход към висшата каста. Интерес до края на живота ви.

Но аз съм толкова „модерен“, че знам, че трябва да подготвя учениците си за професии, които... все още не съществуват. Най-доброто, което мога и мога да направя, е да покажа на учениците: ЩЕ СЕ ПРОМЕНИТЕ ЛИ? Дори на ниво елементарна математика.

Вижте също: